Suite généraliséeEn mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith, ou filet, étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné filtrant qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels. Pour tout ensemble X, une suite généralisée d'éléments de X est une famille d'éléments de X indexée par un ensemble ordonné filtrant A. Par filtrant (à droite), on entend que toute paire dans A possède un majorant dans A. Soit un filet dans un ensemble E et, pour tout , .
Connexité (mathématiques)La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié. Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ; E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ; les seuls ouverts-fermés de E sont ∅ et E ; toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.
Filter (set theory)In mathematics, a filter on a set is a family of subsets such that: and if and , then If , and , then A filter on a set may be thought of as representing a "collection of large subsets", one intuitive example being the neighborhood filter. Filters appear in order theory, model theory, and set theory, but can also be found in topology, from which they originate. The dual notion of a filter is an ideal.
Espace T1En mathématiques, un espace accessible (ou espace T, ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation. Un espace topologique E est T si pour tout couple (x, y) d'éléments de E distincts, il existe un ouvert contenant x et pas y. Soit E un espace topologique.
Espace séparableEn mathématiques, et plus précisément en topologie, un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dense et au plus dénombrable, c'est-à-dire contenant un ensemble fini ou dénombrable de points dont l'adhérence est égale à l'espace topologique tout entier. espace à base dénombrable Tout espace à base dénombrable est séparable. La réciproque est fausse, mais : Tout espace pseudométrisable séparable est à base dénombrable.Beaucoup d'espaces usuels sont de ce type.
Ouvert (topologie)En mathématiques et plus particulièrement en topologie générale, un ensemble ouvert, aussi appelé une partie ouverte ou, plus fréquemment, un ouvert, est un sous-ensemble d'un espace topologique qui ne contient aucun point de sa frontière. L'ouvert est l'élément de base d'un espace topologique. Il existe plusieurs définitions des ouverts suivant le type d'espace concerné. Nous reprenons ici la définition pour le cas le plus général à savoir celui des espaces topologiques.
Variété topologiqueEn topologie, une variété topologique est un espace topologique, éventuellement séparé, assimilable localement à un espace euclidien. Les variétés topologiques constituent une classe importante des espaces topologiques, avec des applications à tous les domaines des mathématiques. Le terme variété peut désigner une variété topologique, ou, le plus souvent, une variété topologique munie d'une autre structure. Par exemple, une variété différentielle est une variété topologique munie d'une structure permettant le calcul différentiel.
Applications ouvertes et ferméesEn mathématiques, et plus précisément en topologie, une application ouverte est une application entre deux espaces topologiques envoyant les ouverts de l'un vers des ouverts de l'autre. De même, une application fermée envoie les fermés du premier espace vers des fermés du second. Soit deux espaces topologiques X et Y ; on dit qu'une application f de X vers Y est ouverte si pour tout ouvert U de X, l' f(U) est ouverte dans Y ; de même, on dit que f est fermée si pour tout fermé U de X, l'image f(U) est fermée dans Y.
Filters in topologyFilters in topology, a subfield of mathematics, can be used to study topological spaces and define all basic topological notions such as convergence, continuity, compactness, and more. Filters, which are special families of subsets of some given set, also provide a common framework for defining various types of limits of functions such as limits from the left/right, to infinity, to a point or a set, and many others. Special types of filters called have many useful technical properties and they may often be used in place of arbitrary filters.
Real coordinate spaceIn mathematics, the real coordinate space of dimension n, denoted Rn or , is the set of the n-tuples of real numbers, that is the set of all sequences of n real numbers. Special cases are called the real line R1 and the real coordinate plane R2. With component-wise addition and scalar multiplication, it is a real vector space, and its elements are called coordinate vectors. The coordinates over any basis of the elements of a real vector space form a real coordinate space of the same dimension as that of the vector space.
