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Concept
Tenseur de Riemann
Résumé
vignette|Motivation de la courbure de Riemann pour les variétés sphériques.
En géométrie riemannienne, le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel est la façon la plus courante d'exprimer la courbure des variétés riemanniennes, ou plus généralement d'une variété disposant d'une connexion affine, avec ou sans torsion.
Soit deux géodésiques d'un espace courbe, parallèles au voisinage d'un point P. Le parallélisme ne sera pas nécessairement conservé en d'autres points de l'espace. Le tenseur de courbure de Riemann exprime l'évolution de ces géodésiques l'une par rapport à l'autre. Plus l'espace est courbe, plus les géodésiques vont se rapprocher ou s'éloigner rapidement.
Le tenseur de courbure est formulé à l'aide d'une connexion de Levi-Civita (ou plus généralement d'une connexion affine) (ou dérivée covariante) par la formule suivante :
Pour tous champs de vecteurs u, v et w de la variété :
où est le crochet de Lie.
Ici est une transformation linéaire selon chacun de ses arguments sur l'espace tangent de la variété.
N.B. : certains auteurs définissent le tenseur de courbure comme du signe opposé.
Si et sont des champs de vecteurs de coordonnées, alors et on peut ré-écrire la formule :
Le tenseur de courbure mesure alors la non-commutativité de la dérivée covariante.
La transformation linéaire est aussi appelée la transformation de courbure ou endomorphisme.
En termes de coordonnées, cette équation peut être ré-écrite en utilisant les symboles de Christoffel :
Le tenseur de courbure de Riemann a les symétries suivantes :
La dernière identité a été découverte par Ricci, mais est souvent nommé première identité de Bianchi ou identité algébrique de Bianchi.
Ces trois identités forment une liste complète des symétries de tenseur de courbure, c'est-à-dire qu'étant donné un tenseur respectant les identités ci-dessus, on peut trouver une variété de Riemann disposant d'un tel tenseur de courbure en un point. De simples calculs mathématiques montrent qu'un tel tenseur a composants indépendants où est la dimension de la surface.
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