Concept

Tenseur de Riemann

Résumé
vignette|Motivation de la courbure de Riemann pour les variétés sphériques. En géométrie riemannienne, le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel est la façon la plus courante d'exprimer la courbure des variétés riemanniennes, ou plus généralement d'une variété disposant d'une connexion affine, avec ou sans torsion. Soit deux géodésiques d'un espace courbe, parallèles au voisinage d'un point P. Le parallélisme ne sera pas nécessairement conservé en d'autres points de l'espace. Le tenseur de courbure de Riemann exprime l'évolution de ces géodésiques l'une par rapport à l'autre. Plus l'espace est courbe, plus les géodésiques vont se rapprocher ou s'éloigner rapidement. Définition Le tenseur de courbure est formulé à l'aide d'une connexion de Levi-Civita (ou plus généralement d'une connexion affine) \nabla (ou dérivée covariante) par la formule suivante : Pour tous champs de vecteurs u, v et w de la variété : où [\ ,\ ] est le crochet de Lie
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