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Concept
Point fixe
Résumé
En mathématiques, pour une application f d'un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.
Exemples :
dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A ;
l'application inverse (définie sur l'ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : –1 et 1, solutions de l'équation équivalente à l'équation .
Graphiquement, les points fixes d'une fonction f (d'une variable réelle, à valeurs réelles) sont les points d'intersection de la droite d'équation y = x avec la courbe d'équation y = f(x).
Toutes les fonctions n'ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction x ↦ x + 1 n'en possède pas, car il n'existe aucun nombre réel x égal à x + 1.
Pour une fonction f définie sur E et à valeurs dans , un point fixe est un élément x de E tel que , comme dans le théorème du point fixe de Kakutani.
On considère une fonction continue f : E → E et (u) une suite récurrente définie par sa valeur initiale u et par la relation de récurrence u = f(u). Si (u) converge vers un élément l de E, la limite l est nécessairement un point fixe de f.
Une telle suite ne converge pas forcément, même si f possède un point fixe.
Un point fixe attractif d'une application f est un point fixe x de f tel qu'il existe un voisinage V de x sur lequel la suite de nombres réels (pour tout x dans le voisinage V) converge vers x.
Si la fonction f possède une dérivée f' continue et f '(x) < 1 alors le point fixe x est attractif. La démonstration est basée sur le théorème du point fixe de Banach.
Par exemple, la fonction cosinus admet un unique point fixe x ≈ 0,7390851332, qui est attractif car sin(x) < 1 (voir le nombre de Dottie).
Cependant, tous les points fixes d'une fonction ne sont pas nécessairement attractifs. Ainsi, la fonction réelle x ↦ x + x possède un unique point fixe en 0, qui n'est pas attractif.
Les points fixes attractifs sont un cas particulier du concept mathématique d'attracteur.
Théorèmes de point fixe
Il existe plusieurs théorèmes permettant de déterminer qu'une application satisfaisant à certains critères possède un point fixe.
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