Classification des groupes simples finis

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, la classification des groupes simples finis, aussi appelée le théorème énorme, est un ensemble de travaux, principalement publiés entre environ 1955 et 1983, qui a pour but de classer tous les groupes finis simples. En tout, cet ensemble comprend des dizaines de milliers de pages publiées dans 500 articles par plus de 100 auteurs. Liste des groupes finis simples Dans l'étude de la classification des groupes finis simples, les mathématiciens ont été amenés à découvrir des êtres mathématiques inattendus qu'ils appelèrent des groupes sporadiques pour marquer qu'ils n'apparaissent dans aucune des listes générales. La classification montre que tout groupe fini simple est de l'un des types suivants : un groupe cyclique dont l'ordre est un nombre premier, un groupe alterné de degré au moins égal à 5, un groupe classique (groupe linéaire spécial projectif, symplectique, orthogonal ou unitaire sur un corps fini, comme le groupe simple d'ordre 168), un groupe de type de Lie exceptionnel ou tordu (on inclut en général le groupe de Tits dans ce cas), un des 26 groupes sporadiques. Le théorème a des applications dans beaucoup de branches de mathématiques, les questions sur les groupes finis pouvant souvent se réduire à des questions sur les groupes finis simples, et donc à une énumération de cas. Quelquefois le groupe de Tits est regardé comme un groupe sporadique (dans ce cas, il existe 27 groupes sporadiques) parce qu'il n'est pas à strictement parler un groupe de type de Lie. En raison de la longueur, de la complexité du travail publié et de la non-publication d'une partie des éléments de preuves, certains doutes ont perduré un temps quant à la complétude et à la correction de la démonstration : pendant plus d'une décennie, les experts (parmi lesquels Michael Aschbacher et Jean-Pierre Serre) ont émis un « doute sérieux » à propos de la classification (non publiée) des de Geoff Mason.

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Groupe fini

vignette|Un exemple de groupe fini est le groupe des transformations laissant invariant un flocon de neige (par exemple la symétrie par rapport à l'axe horizontal). En mathématiques, un groupe fini est un groupe constitué d'un nombre fini d'éléments. Soit G un groupe. On note en général sa loi multiplicativement et on désigne alors son élément neutre par 1. Toutefois, si G est abélien, la loi est souvent notée additivement et son élément neutre est alors désigné par 0 ; ce n'est cependant pas une règle générale : par exemple, le groupe multiplicatif d'un corps commutatif est noté multiplicativement, bien qu'il soit abélien.

Classification des groupes simples finis

Théorie des groupes

vignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.

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