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Concept
Produit semi-direct
Résumé
En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.
Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :
(en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ;
(tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ;
la restriction à K de la surjection canonique est un isomorphisme entre et ;
la surjection canonique se scinde par un morphisme tel que .
La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet
deux éléments de G ainsi décomposés. On a :
décomposé en un élément de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément de K.
Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :
Pour tout , l'application
est un automorphisme de H. En outre, l'application
est un morphisme de groupes.
On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, et , et un morphisme de dans le groupe des automorphismes de , étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe de et suivant comme le produit cartésien de et muni de la loi de groupe :
où l'inverse d'un élément est .
On peut injecter dans par l'injection canonique , et injecter dans par l'injection canonique . On vérifie alors que est le produit semi-direct interne de par au sens donné en début d'article. Sous ces identifications, on vérifie également que l'automorphisme est l'automorphisme de conjugaison par . On note
ou tout simplement .
Le cas où est le morphisme trivial de groupe (i.e. ) correspond au produit direct.
Soient H, H1, K, K1 des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), f1 un morphisme de H1 dans Aut(K1).
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