Résumé
En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes. Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée : (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ; (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ; la restriction à K de la surjection canonique est un isomorphisme entre et ; la surjection canonique se scinde par un morphisme tel que . La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet deux éléments de G ainsi décomposés. On a : décomposé en un élément de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément de K. Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi : Pour tout , l'application est un automorphisme de H. En outre, l'application est un morphisme de groupes. On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, et , et un morphisme de dans le groupe des automorphismes de , étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe de et suivant comme le produit cartésien de et muni de la loi de groupe : où l'inverse d'un élément est . On peut injecter dans par l'injection canonique , et injecter dans par l'injection canonique . On vérifie alors que est le produit semi-direct interne de par au sens donné en début d'article. Sous ces identifications, on vérifie également que l'automorphisme est l'automorphisme de conjugaison par . On note ou tout simplement . Le cas où est le morphisme trivial de groupe (i.e. ) correspond au produit direct. Soient H, H1, K, K1 des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), f1 un morphisme de H1 dans Aut(K1).
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Concepts associés (67)
Groupe général linéaire
En mathématiques, le groupe général linéaire — ou groupe linéaire — de degré n d’un corps commutatif K (ou plus généralement d'un anneau commutatif unifère) est le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans K, muni du produit matriciel. On le note GL(K) ou GL(n, K) et il représente les automorphismes de l’espace vectoriel K. Ce groupe est non abélien dès lors que n > 1. Lorsque K est un corps commutatif, l’ensemble GL(n, K) est en outre un ouvert pour la topologie de Zariski.
Produit semi-direct
En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes. Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée : (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ; (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ; la restriction à K de la surjection canonique est un isomorphisme entre et ; la surjection canonique se scinde par un morphisme tel que .
Groupe orthogonal
En mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace Euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : pour tout vecteur x de E.
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