En analyse mathématique, la notion de dérivée directionnelle permet de quantifier la variation locale d'une fonction dépendant de plusieurs variables, en un point donné et le long d'une direction donnée dans l'espace de ces variables. Dans la version la plus simple, la dérivée directionnelle généralise la notion de dérivées partielles, dans le sens où l'on retrouve ces dernières en prenant comme directions de dérivation les axes de coordonnées.
Le concept de dérivée directionnelle est fondamental en analyse. Il est parfois le point de départ pour définir la dérivée d'une fonction, qui décrit comment sa valeur est modifiée lorsque ses arguments varient de manière infinitésimale mais arbitrairement (et non plus le long d'une direction préfixée) : la dérivée au sens de Gateaux est définie de cette manière, mais aussi le sous-différentiel d'une fonction convexe et le sous-différentiel de Clarke d'une fonction lipschitzienne. C'est aussi un concept précieux pour obtenir des conditions nécessaires d'optimalité en optimisation.
On comprend alors pourquoi l'on a introduit de multiples notions de dérivée directionnelle, qui sont plus ou moins bien adaptées à la régularité (i.e. au caractère lisse) de la fonction étudiée et dont l'utilité et le domaine d'application dépendent de leurs propriétés. Les développements sont très raffinés et se poursuivent ; l'étude des liens entre eux mériterait une monographie. Nous nous contenterons ici de donner les principales définitions en commençant par les plus familières et les plus simples.
Soient E un espace vectoriel normé, U un ouvert de E, f une fonction définie sur U à valeurs dans un espace vectoriel normé F (ou plus généralement, un espace vectoriel topologique séparé). On donnera la qualification de points aux éléments de U et de vecteurs aux éléments de E, les raisons en seront détaillées au-dessous. Soient également u un point de U et h un vecteur de E.
La dérivée de f au point u suivant le vecteur h est, si elle existe, la dérivée en 0 de la fonction de la variable réelle :
Si h est le vecteur nul, cette limite existe toujours et a une valeur nulle.
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En analyse mathématique, la notion de dérivée directionnelle permet de quantifier la variation locale d'une fonction dépendant de plusieurs variables, en un point donné et le long d'une direction donnée dans l'espace de ces variables. Dans la version la plus simple, la dérivée directionnelle généralise la notion de dérivées partielles, dans le sens où l'on retrouve ces dernières en prenant comme directions de dérivation les axes de coordonnées. Le concept de dérivée directionnelle est fondamental en analyse.
En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.
En analyse mathématique, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. Sous sa forme la plus simple, elle s'énonce ainsi : En notation de Leibniz, cette formule s'écrit : Une application importante de la règle du produit est la méthode d'intégration par parties. Soit la fonction définie par : Pour trouver sa dérivée avec la règle du produit, on pose et . Les fonctions , et sont partout dérivables car polynomiales.
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We report a systematic study of the magnetoelectric (ME) voltage coefficient as a complex quantity in the particulate composite of ferroelectric solid solution 0.94Pb(Fe1/2N1/2)O-3-0.06PbTiO(3)(PFN-PT
2019
Explore la deuxième condition de Wolfe, en guidant les tailles de pas en fonction de l'augmentation de la dérivée directionnelle.
Introduit la condition First Wolfe pour assurer une diminution proportionnelle de la fonction objectif par rapport à la longueur du pas.
Explore la différentiabilité dans les fonctions et les plans tangents aux surfaces.