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Concept
Anneau factoriel
Résumé
vignette|Organigramme des relations entre les différentes structures algébriques
En mathématiques, un anneau factoriel est un cas particulier d'anneau intègre. À l'image des nombres entiers, il existe un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique pour une telle structure : tout élément non nul d'un anneau factoriel se décompose en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles, cette décomposition étant unique aux éléments inversibles près. Par exemple dans l'anneau Z des entiers relatifs, –2 est irréductible.
Tout anneau principal (c'est-à-dire intègre et dont tout idéal est principal) est factoriel. La réciproque n'est pas vraie. Ainsi un anneau de polynômes à coefficients dans un anneau factoriel k est toujours factoriel lui aussi, mais n'est principal que si l'anneau k est un corps. En ce sens, le concept d'anneau factoriel généralise celui d'anneau principal. Il peut être à son tour généralisé en abandonnant l'hypothèse d'unicité de la décomposition en produit de facteurs irréductibles. On obtient ainsi la classe plus large des anneaux atomiques.
Certains résultats usuels de l'arithmétique élémentaire s'appliquent sur un anneau factoriel. Ainsi, le lemme d'Euclide est vérifié et il est possible de définir un plus grand commun diviseur et un plus petit commun multiple bénéficiant presque des propriétés usuelles sur Z.
La notion d'anneau factoriel s'appuie sur trois définitions :
un élément de A est dit irréductible s'il n'est ni nul, ni inversible, ni produit de deux éléments non inversibles ;
deux éléments a et b non nuls de A sont dits associés s'il existe un élément inversible u tel que a = ub (cette relation est une relation d'équivalence) ;
un élément p de A est dit premier s'il est non nul et non inversible et si pour tout produit ab multiple de p, a ou b est multiple de p.
La définition la plus courante d'anneau factoriel est :
On verra, grâce aux premières propriétés ci-dessous, que cette définition équivaut à :
Exemple : L'anneau Z des entiers relatifs est factoriel.
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