Coordonnées orthogonales

En mathématiques, les coordonnées orthogonales sont définies comme un ensemble de d coordonnées q = (q1, q2..., qd) dans lequel toutes les surfaces coordonnées se rencontrent à angle droit. Une surface coordonnée particulière de coordonnée qk est une courbe, une surface ou une hypersurface sur laquelle chaque qk est une constante. Par exemple, le système de coordonnées cartésiennes de dimension 3 (x, y, z) est un système de coordonnées orthogonales puisque ses surfaces coordonnées x = constante, y = constante et z = constante sont des plans deux à deux perpendiculaires. Le système de coordonnées orthogonales est un cas particulier mais très courant des systèmes de coordonnées curvilignes. Alors que les opérations vectorielles et les lois physiques sont usuellement plus facile à exprimer en coordonnées cartésiennes, les coordonnées orthogonales non cartésiennes sont souvent préférées lorsque la géométrie du problème permet de résoudre plus facilement un problème comme les problèmes aux limites (résolution d'équation aux dérivées partielles) que l'on rencontre en mécanique quantique, mécanique des fluides, électromagnétisme, diffusion d'espèces chimiques ou encore pour la résolution de l'équation de la chaleur. Le principal avantage d'un systèmes de coordonnées non cartésiennes est qu'on peut le choisir pour tirer parti des symétries du problème. Par exemple, considérons l'onde de pression due à une explosion ponctuelle ; cette onde se propage dans toutes les directions de l'espace tri-dimensionnel de telle sorte que l'onde de pression peut être caractérisée uniquement par la distance au point d'explosion en fonction du temps, ce qui devient un problème unidimensionnel en coordonnées sphériques. Citons un autre exemple, le mouvement d'un fluide dans un tube à section circulaire : en coordonnées cartésiennes, on doit résoudre une équation aux dérivées partielles en dimension 2 avec des conditions aux limites alors qu'en coordonnées cylindriques, le problème devient unidimensionnel et ne met en œuvre qu'une équation différentielle ordinaire.