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Concept
Formule des caractères de Weyl
Résumé
En théorie des représentations, la formule des caractères de Weyl est une description des caractères des représentations irréductibles des groupes de Lie compacts en fonction de leurs plus haut poids. Elle a été prouvée par Hermann Weyl. Il existe une formule étroitement liée pour le caractère d'une représentation irréductible d'une algèbre de Lie semi-simple. Dans l'approche de Weyl de la théorie des représentations des groupes de Lie compacts connexes, la preuve de la formule des caractères est une étape clé pour prouver que chaque élément entier dominant apparaît effectivement comme le plus haut poids d'une représentation irréductible. Parmi les conséquences importantes de la formule des caractères figurent la formule de la dimension de Weyl et la formule de multiplicité de Kostant.
Par définition, le caractère d'une représentation de G est la trace de , vue comme fonction d'un élément du groupe . Les représentations irréductibles dans ce cas sont toutes de dimension finie (cela fait partie du théorème de Peter-Weyl) ; la notion de trace est donc celle usuelle de l'algèbre linéaire. La connaissance du caractère de donne beaucoup d'informations sur lui-même, puisque par exemple caractérise à isomorphisme près.
La formule de Weyl est une formule fermée pour le caractère , en termes d'autres objets construits à partir de G et de son algèbre de Lie.
La formule des caractères peut être exprimée en termes de représentations d'algèbres de Lie semi-simples complexes ou en termes (essentiellement équivalents) de groupes de Lie compacts.
Soit une représentation irréductible de dimension finie d'une algèbre de Lie semi-simple complexe . Soit une sous-algèbre de Cartan de . Le caractère de est alors la fonction défini par
La valeur du caractère en est la dimension de . Par des considérations élémentaires, on voit que le caractère peut être calculé comme
où la somme porte sur tous les poids de et où est la multiplicité de , c'est-à-dire la dimension de l'espace de poids correspondant.
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