vignette|Attracteur de deux similitudes et . En mathématiques, un système de fonctions itérées (SFI ou encore IFS, acronyme du terme anglais Iterated Function System) est un outil pour construire des fractales. Plus précisément, l'attracteur d'un système de fonctions itérées est une forme fractale autosimilaire faite de la réunion de copies d'elle-même, chaque copie étant obtenue en transformant l'une d'elles par une fonction du système. La théorie a été formulée lors d'un séjour à l'université de Princeton par John Hutchinson en 1980. Michael Barnsley a démontré, avec le théorème du collage, que tout ensemble compact de points peut être approximé d'un SFI. Un SFI est une famille S de N fonctions contractantes dans un espace métrique complet M. On définit à partir des T une nouvelle fonction T, elle aussi contractante sur , l'ensemble des parties compactes de M muni de la distance de Hausdorff, par l'expression , appelée opérateur de Hutchinson de S. est un espace métrique complet. Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble F de M fixe par T. F est appelé attracteur du SFI et noté S. Remarques En pratique, on choisit un compact quelconque K, par exemple un point, et on considère la suite (K, T(K), T(T(K)), ...), autrement dit l'orbite de K. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact K, vers S. C'est de là que vient le terme ditéré. La plupart des fonctions des SFI classiques sont des fonctions affines. On appelle flammes fractales des fractales obtenues par des fonctions non linéaires. Considérons les deux homothéties définies sur par . Les deux ont pour rapport . La première a pour centre et la deuxième . , l'ensemble triadique de Cantor vérifie alors . La famille de contractions est ici et en est l'attracteur. En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé que l'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet K(R) des compacts non vides de R, muni de la distance de Hausdorff.

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Cours associés (32)
EE-556: Mathematics of data: from theory to computation
This course provides an overview of key advances in continuous optimization and statistical analysis for machine learning. We review recent learning formulations and models as well as their guarantees
PHYS-460: Nonlinear dynamics, chaos and complex systems
The course provides students with the tools to approach the study of nonlinear systems and chaotic dynamics. Emphasis is given to concrete examples and numerical applications are carried out during th
CS-108: Practice of object-oriented programming
Les étudiants perfectionnent leurs connaissances en Java et les mettent en pratique en réalisant un projet de taille conséquente. Ils apprennent à utiliser et à mettre en œuvre les principaux types de
Afficher plus
Publications associées (69)
Concepts associés (10)
Fonction itérée
En mathématiques, une fonction itérée est une fonction obtenue par composition répétée d’une autre fonction avec elle-même un certain nombre de fois. La procédure consistant à appliquer la même fonction à plusieurs reprises s’appelle itération. Les fonctions itérées apparaissent en informatique, dans les systèmes dynamiques, les groupes de renormalisation et sont à la base des fractales. L’itérée, plus précisément la deuxième itérée, d’une fonction f , définie sur un ensemble X et à valeurs dans ce même ensemble X, est la fonction où note la composition de fonctions.
Fougère de Barnsley
vignette| Une fougère de Barnsley tracée avec VisSim. La fougère de Barnsley est une fractale nommée d'après le mathématicien Michael Barnsley qui l'a décrite pour la première fois dans son livre Fractals Everywhere. La fougère de Barnsley est l'attracteur d'une famille de quatre applications affines. La formule pour une application affine est la suivante : Dans le tableau, les colonnes "a" à "f" sont les coefficients de l'équation et "p" représente le facteur de probabilité.
Infinite compositions of analytic functions
In mathematics, infinite compositions of analytic functions (ICAF) offer alternative formulations of analytic continued fractions, series, products and other infinite expansions, and the theory evolving from such compositions may shed light on the convergence/divergence of these expansions. Some functions can actually be expanded directly as infinite compositions. In addition, it is possible to use ICAF to evaluate solutions of fixed point equations involving infinite expansions.
Afficher plus

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.