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Concept
Système de fonctions itérées
Résumé
vignette|Attracteur de deux similitudes et .
En mathématiques, un système de fonctions itérées (SFI ou encore IFS, acronyme du terme anglais Iterated Function System) est un outil pour construire des fractales. Plus précisément, l'attracteur d'un système de fonctions itérées est une forme fractale autosimilaire faite de la réunion de copies d'elle-même, chaque copie étant obtenue en transformant l'une d'elles par une fonction du système.
La théorie a été formulée lors d'un séjour à l'université de Princeton par John Hutchinson en 1980. Michael Barnsley a démontré, avec le théorème du collage, que tout ensemble compact de points peut être approximé d'un SFI.
Un SFI est une famille S de N fonctions contractantes dans un espace métrique complet M.
On définit à partir des T une nouvelle fonction T, elle aussi contractante sur , l'ensemble des parties compactes de M muni de la distance de Hausdorff, par l'expression , appelée opérateur de Hutchinson de S.
est un espace métrique complet.
Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble F de M fixe par T.
F est appelé attracteur du SFI et noté S.
Remarques
En pratique, on choisit un compact quelconque K, par exemple un point, et on considère la suite (K, T(K), T(T(K)), ...), autrement dit l'orbite de K. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact K, vers S. C'est de là que vient le terme ditéré.
La plupart des fonctions des SFI classiques sont des fonctions affines.
On appelle flammes fractales des fractales obtenues par des fonctions non linéaires.
Considérons les deux homothéties définies sur par . Les deux ont pour rapport . La première a pour centre et la deuxième . , l'ensemble triadique de Cantor vérifie alors . La famille de contractions est ici et en est l'attracteur.
En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé que l'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet K(R) des compacts non vides de R, muni de la distance de Hausdorff.
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