Convergence de variables aléatoires

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Dans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé notamment en statistique et dans l'étude des processus stochastiques. Par exemple, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires (si celle-ci existe). Ce résultat est connu sous le nom de loi forte des grands nombres. Dans cet article, on suppose que (Xn) est une suite de variables aléatoires réelles, que X est une variable aléatoire réelle, et que toutes ces variables sont définies sur un même espace probabilisé . D'éventuelles généralisations seront discutées. Il existe plusieurs notions de convergence de variables aléatoires. Elles ont toutes en commun le fait qu'elles sont insensibles face à d'éventuelles modifications négligeables des variables aléatoires. Plus précisément, si converge vers (selon n'importe lequel des sens ci-dessous) et si sont d'autres variables aléatoires telles que pour tout et , alors converge aussi vers . Rappelons qu'une variable aléatoire réelle est dite essentiellement bornée s'il existe un nombre , appelé borne essentielle, tel que . Dans ce cas on définit comme la borne inférieure de l'ensemble des bornes essentielles de .Remarques : Le fait que et soient essentiellement bornées implique que l'est aussi. Ainsi la quantité est bien définie. Plus précisément l'ensemble des variables aléatoires réelles définies sur essentiellement bornées est un espace vectoriel réel pour lequel la fonction est une semi-norme. Attention ce n'est pas une norme, en général on quotiente par le sous-espace des variables aléatoires presque-sûrement nulles. Sur cet espace quotient, induit une norme. Par abus de langage on parle parfois de « convergence uniforme » au lieu de « convergence essentiellement uniforme ».

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