Échantillonnage de Gibbs

L' est une méthode MCMC. Étant donné une distribution de probabilité sur un univers , cet algorithme définit une chaîne de Markov dont la distribution stationnaire est . Il permet ainsi de tirer aléatoirement un élément de selon la loi (on parle d'échantillonnage). Comme pour toutes les méthodes de Monte-Carlo à chaîne de Markov, on se place dans un espace vectoriel Ɛ de dimension finie n ; on veut générer aléatoirement N vecteurs x(i) suivant une distribution de probabilité π ; pour simplifier le problème, on détermine une distribution qx(i) permettant de générer aléatoirement x(i + 1) à partir de x(i). La spécificité de l'échantillonnage de Gibbs consiste à « découper » qx(i) en n probabilités conditionnelles : la première composante du vecteur, x(i + 1)1, est générée à partir de la probabilité conditionnelle π(x1|x(i)2, x(i)3, ..., x(i)n) ; la seconde composante du vecteur, x(i + 1)2, est générée à partir de la probabilité conditionnelle π(x2|x(i + 1)1, x(i)3, ..., x(i)n) ; la composante j du vecteur, x(i + 1)j, est générée à partir de la probabilité conditionnelle π(xj|x(i + 1)1, x(i + 1)2, ..., x(i + 1)j - 1, x(i)j + 1, ..., x(i)n). On remplace donc le problème de génération aléatoire de x(i + 1) par n problèmes que l'on espère plus simples. Soit une variable de loi dans l'espace de sites vers l'espace des états . Pour et les densités conditionnelles où , on construit l'échantillonneur de Gibbs sur les noyaux -invariants : . On visite séquentiellement, en relaxant à chaque pas la valeur suivant la loi conditionnelle à l'état courant. La transition de à s'écrit: Soit une probabilité jamais nulle sur . À chaque pas, un site est choisi avec la probabilité et la valeur y est relaxée selon la loi conditionnelle à l'état courant. La transition s'écrit: Si est fini, la transition est positive strictement et la vitesse de convergence de est exponentielle. peut être connu à un facteur multiplicatif près. Catégorie:Algorithme Catégorie:Processus stochastique Catégorie:Physique statistique Catégorie:Probabilités Catég