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Concept
Loi de Dirichlet
Résumé
thumb|right|250px|Plusieurs images de la densité de la loi de Dirichlet lorsque K=3 pour différents vecteurs de paramètres α. Dans le sens horaire à partir du coin supérieur gauche : α=(6, 2, 2), (3, 7, 5), (6, 2, 6), (2, 3, 4).
En probabilité et statistiques, la loi de Dirichlet, souvent notée Dir(α), est une famille de lois de probabilité continues pour des variables aléatoires multinomiales. Cette loi (ou encore distribution) est paramétrée par le vecteur α de nombres réels positifs et tire son nom de Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Elle est vue comme la généralisation multinomiale de la loi bêta.
thumb|right|250px|Illustration du changement de la log-densité avec K=3 lorsque le vecteur α varie de α=(0.3, 0.3, 0.3) à (2.0, 2.0, 2.0), en conservant toutes les composantes individuelles égales entre elles.
La loi de Dirichlet d'ordre K ≥ 2 de paramètres α1, ..., αK > 0 possède pour densité de probabilité :
pour tous les x1, ..., xK > 0 vérifiant x1 + ... + xK-1 < 1, où xK est une abréviation pour 1 – x1 – ... – xK–1. La densité est nulle en dehors de ce simplexe ouvert de dimension (K − 1).
La constante de normalisation est la fonction bêta multinomiale, qui s'exprime à l'aide de la fonction gamma :
Soit , signifiant que les K – 1 premières composantes possèdent la distribution précédente et que
Posons . Alors
et
En fait, les densités marginales sont des lois bêta :
Qui plus est,
Le mode de la distribution est le vecteur (x1, ..., xK) avec
Si ,alors . Cette propriété d'agrégation permet d'obtenir la distribution marginale de mentionnée plus haut.
Si, pour
où γ désigne la distribution Gamma, indépendamment
alors
et
Bien que les Xi ne soient pas indépendants, ils peuvent néanmoins générer un échantillon de variables aléatoires, distribuées selon une distribution Gamma. Malheureusement, puisque la somme est perdue lors de la génération de X = (X1, ..., XK), il n'est pas possible de retrouver les variables Gamma initiales.
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