Théorème d'OstrowskiEn mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème de théorie des nombres démontré en 1916 par Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps Q des rationnels est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques. Plus précisément et plus généralement, le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1.
Anneau topologiqueEn mathématiques, un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie compatible avec les opérations internes, c'est-à-dire telle que l'addition, l'application opposée et la multiplication soient continues. Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui rend continues l'addition, la multiplication et l'application inverse. Ces structures étendent la notion de groupe topologique. Tous les corps de nombres usuels (rationnels, réels, complexes, p-adiques) ont une ou plusieurs topologies classiques qui en font des corps topologiques.
Principe local-globalPour le point de vue de la géométrie différentielle sur cette notion, voir l'article Passage du local au global. En mathématiques, et plus particulièrement en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique, le principe local-global consiste à essayer de reconstituer une information sur un objet global à partir d'informations sur des objets locaux associés (ses localisations en tous les idéaux premiers), censées être plus faciles à obtenir. Ce théorème porte sur les formes quadratiques sur le corps global des nombres rationnels.
Andrew Wilesvignette|Andrew Wiles devant la statue de Pierre de Fermat à Beaumont-de-Lomagne (1995). Andrew John Wiles (né le à Cambridge, Angleterre) est un mathématicien britannique, professeur à l'université d'Oxford, en Angleterre. Il est célèbre pour avoir démontré le grand théorème de Fermat (1994). Il est lauréat du prix Abel 2016. Après avoir obtenu son diplôme de bachelor au Merton College de l'université d'Oxford, il entre au Clare College en 1974 pour y préparer un Ph.D.
Groupe de Galois absoluEn mathématiques, le groupe de Galois absolu d'un corps commutatif K est le groupe de Galois d'une clôture séparable (extension algébrique séparable maximale, nécessairement normale donc galoisienne) Ksep du corps K. Dans le cas d'un corps parfait (et donc en particulier en caractéristique nulle), une clôture séparable coïncide avec une clôture algébrique. La compréhension du groupe de Galois absolu du corps des nombres rationnels est un problème important en théorie algébrique des nombres.
Profinite integerIn mathematics, a profinite integer is an element of the ring (sometimes pronounced as zee-hat or zed-hat) where indicates the profinite completion of , the index runs over all prime numbers, and is the ring of p-adic integers. This group is important because of its relation to Galois theory, étale homotopy theory, and the ring of adeles. In addition, it provides a basic tractable example of a profinite group. The profinite integers can be constructed as the set of sequences of residues represented as such that .
Théorie d'IwasawaLa théorie d'Iwasawa peut être vue comme une tentative d'étendre les résultats arithmétiques classiques sur les corps de nombres (extensions finies du corps des rationnels) à des extensions infinies de , par des procédés de passage à la limite des extensions finies vers les extensions infinies. Les objets de base de la théorie d'Iwasawa sont les -extensions ; c'est-à-dire des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est le groupe profini , pour un nombre premier fixé.
Kurt HenselKurt Hensel (né le à Königsberg, province de Prusse et mort le à Marbourg, Allemagne) est un mathématicien allemand. Il est le petit-fils de la compositrice Fanny Mendelssohn, et donc le petit-neveu de Felix Mendelssohn et, par alliance, du mathématicien Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet qui a épousé Rebecka Mendelssohn. Hensel effectue des études universitaires à Berlin et Bonn et fait une thèse sous la direction de Leopold Kronecker à l'université Frédéric-Guillaume. Il soutient sa thèse en 1884 et son habilitation en 1886.
Valuation ringIn abstract algebra, a valuation ring is an integral domain D such that for every element x of its field of fractions F, at least one of x or x−1 belongs to D. Given a field F, if D is a subring of F such that either x or x−1 belongs to D for every nonzero x in F, then D is said to be a valuation ring for the field F or a place of F. Since F in this case is indeed the field of fractions of D, a valuation ring for a field is a valuation ring.
Construction des nombres réelsEn mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont : les coupures de Dedekind, qui définissent, via la théorie des ensembles, un réel comme l'ensemble des rationnels qui lui sont strictement inférieurs ; les suites de Cauchy, qui définissent, via l'analyse, un réel comme une suite de rationnels convergeant vers lui. C'est à partir des années 1860 que la nécessité de présenter une construction des nombres réels se fait de plus en plus pressante, dans le but d'asseoir l'analyse sur des fondements rigoureux.
