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Espace localement convexe

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Espace de Schwartz

vignette|Une fonction gaussienne bidimensionnelle est un exemple de fonction à décroissance rapide. En analyse mathématique, l'espace de Schwartz est l'espace des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces et jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.

Complemented subspace

In the branch of mathematics called functional analysis, a complemented subspace of a topological vector space is a vector subspace for which there exists some other vector subspace of called its (topological) complement in , such that is the direct sum in the category of topological vector spaces. Formally, topological direct sums strengthen the algebraic direct sum by requiring certain maps be continuous; the result retains many nice properties from the operation of direct sum in finite-dimensional vector spaces.

Auxiliary normed space

In functional analysis, two methods of constructing normed spaces from disks were systematically employed by Alexander Grothendieck to define nuclear operators and nuclear spaces. One method is used if the disk is bounded: in this case, the auxiliary normed space is with norm The other method is used if the disk is absorbing: in this case, the auxiliary normed space is the quotient space If the disk is both bounded and absorbing then the two auxiliary normed spaces are canonically isomorphic (as topological vector spaces and as normed spaces).

Bornivorous set

In functional analysis, a subset of a real or complex vector space that has an associated vector bornology is called bornivorous and a bornivore if it absorbs every element of If is a topological vector space (TVS) then a subset of is bornivorous if it is bornivorous with respect to the von-Neumann bornology of . Bornivorous sets play an important role in the definitions of many classes of topological vector spaces, particularly bornological spaces.

Théorème bipolaire

En mathématiques, le théorème bipolaire est un théorème d'analyse convexe qui fournit les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un cône soit égal à son cône bipolaire. Le théorème bipolaire peut être vu comme un cas particulier du théorème de Fenchel-Moreau. Pour tout ensemble non vide d'un espace vectoriel , le cône bipolaire est donné par où désigne l'enveloppe convexe est un cône convexe non vide et fermé si et seulement si , où , et désigne le cône dual positif.

Mackey space

In mathematics, particularly in functional analysis, a Mackey space is a locally convex topological vector space X such that the topology of X coincides with the Mackey topology τ(X,X′), the finest topology which still preserves the continuous dual. They are named after George Mackey. Examples of locally convex spaces that are Mackey spaces include: All barrelled spaces and more generally all infrabarreled spaces Hence in particular all bornological spaces and reflexive spaces All metrizable spaces.

Absolutely convex set

In mathematics, a subset C of a real or complex vector space is said to be absolutely convex or disked if it is convex and balanced (some people use the term "circled" instead of "balanced"), in which case it is called a disk. The disked hull or the absolute convex hull of a set is the intersection of all disks containing that set. A subset of a real or complex vector space is called a and is said to be , , and if any of the following equivalent conditions is satisfied: is a convex and balanced set.

Analyse convexe

L'analyse convexe est la branche des mathématiques qui étudie les ensembles et les fonctions convexes. Cette théorie étend sur beaucoup d'aspects les concepts de l'algèbre linéaire et sert de boîte à outils en analyse et en analyse non lisse. Elle s'est beaucoup développée du fait de ses interactions avec l'optimisation, où elle apporte des propriétés particulières aux problèmes qui y sont étudiés. Certains voient la naissance de l'analyse convexe « moderne » dans l'invention des notions de sous-différentiel, d'application proximale et d'inf-convolution dans les années 1962-63.

Cône convexe

En algèbre linéaire, un cône convexe est une partie d'un espace vectoriel sur un corps ordonné qui est stable par combinaisons linéaires à coefficients strictement positifs. droite|vignette|Exemple de cône convexe (en bleu clair). À l'intérieur de celui-ci se trouve le cône convexe rouge clair qui est composé des points avec, et étant les points représentés sur la figure. Les courbes en haut à droite indiquent que les régions se prolongent à l'infini.

Théorème de Banach-Steinhaus

Le théorème de Banach-Steinhaus fait partie, au même titre que le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Schauder, des résultats fondamentaux de l'analyse fonctionnelle. Publié initialement par Stefan Banach et Hugo Steinhaus en 1927, il a aussi été prouvé indépendamment par Hans Hahn, et a connu depuis de nombreuses généralisations. La formulation originelle de ce théorème est la suivante : Lorsque E est un espace de Banach (donc de Baire), il suffit donc que la famille soit simplement bornée sur une partie comaigre, comme E lui-même.