Groupe résiduellement fini
En mathématiques, et tout particulièrement en théorie combinatoire des groupes, un groupe résiduellement fini est un groupe qui peut en quelque sorte être « approché » par des groupes finis. L'adjectif « résiduel » s'applique aussi à d'autres propriétés, comme être résiduellement nilpotent, résiduellement libre. Un groupe est résiduellement fini s'il existe, pour tout élément distinct de l'élément neutre, un sous-groupe distingué d'indice fini ne contenant pas . Des définitions équivalentes sont : un groupe est résiduellement fini si pour tout élément distinct de l'élément neutre, il existe un morphisme dans un groupe fini tel que ; l'intersection de tous les sous-groupes d'indice fini (ou même de tous ses sous-groupes normaux) de est réduite à l'élément neutre. le groupe peut être plongé dans le produit direct d'une famille de groupes finis. Un théorème de Anatoli Maltsev (Анато́лий Ива́нович Ма́льцев orthographié aussi Mal'cev ou Malcev ou Maltsev) dit que tout groupe linéaire, c'est-à-dire tout groupe isomorphe à un sous-groupe finiment engendré du groupe général linéaire est résiduellement fini, pour tout anneau commutatif unifère . Ce critère fournit de nombreux exemples de groupes résiduellement finis : Les groupes libres Les groupes fondamentaux d'espaces localement symétriques et notamment de variétés hyperboliques compactes. Les Les groupes nilpotents finiment engendrés. Les groupes fondamentaux de 3-variétés ; on ne sait pas s'ils sont en général isomorphes à des sous-groupes de . Propriétés de stabilité : Un sous-groupe d'un groupe finiment engendré résiduellement fini et aussi résiduellement fini. Le produit direct de groupes résiduellement finis est aussi résiduellement fini. Un groupe qui possède une sous-groupe résiduellement fini d'indice fini est lui-même résiduellement fini. Les groupes de Baumslag-Solitar ne sont pas tous résiduellement finis. Par exemple, le groupe de Baumslag–Solitar BS(2,3) n'est pas hopfien, et donc pas résiduellement fini. Il est ouvert si les groupes hyperboliques sont tous résiduellement finis.