Somme de Ramanujan
En théorie des nombres, une branche des mathématiques, une somme de Ramanujan, habituellement notée cq(n), est une fonction de deux variables entières q et n, avec q ≥ 1, définie par la formule : où le pgcd est le plus grand commun diviseur. La somme est donc effectuée sur les classes de congruence inversibles modulo q. Srinivasa Ramanujan fit une publication sur le sujet en 1918. Les sommes de Ramanujan interviennent de façon récurrente en théorie des nombres, par exemple dans la preuve du théorème de Vinogradov sur les sommes de trois nombres premiers. Pour 2 nombres entiers a et b, se lit "a divise b", et signifie qu'il existe un entier c tel que b = ac. De même, se lit "a ne divise pas b". Le symbole de sommation signifie que d passe par tous les diviseurs positifs de m, par ex. est le plus grand diviseur commun, est l'indicatrice d'Euler, est la fonction de Möbius et est la fonction zêta de Riemann. Ces formules proviennent de la formule d'Euler et des identités trigonométriques élémentaires. et ainsi de suite (, , , , ...). Cela montre que cq(n) est toujours un nombre réel (algébrique, comme somme de racines de l'unité). Posons est donc une solution de l'équation . Chacune de ses puissances ζq, ζq2, ... ζqq = ζq0 = 1 est également une solution, et puisque ces q nombres sont distincts, ce sont toutes les solutions de l'équation. Les ζqn où 1 ≤ n ≤ q sont appelées les racines q-èmes de l'unité. est appelée une racine primitive, parce que la plus petite valeur de n telle que ζqn = 1 est q. Les autres racines primitives sont les , où a et q sont premiers entre eux. Donc, il y a φ(q) racines primitives q-ièmes de l'unité. La somme de Ramanujan cq(n) est somme de puissances n-ièmes des racines primitives q-ièmes de l'unité. Exemple. Supposons q = 12. Alors ζ12, ζ125, ζ127, et ζ1211 sont les racines primitives douzièmes de l'unité, ζ122 et ζ1210 sont les racines primitives sixièmes de l'unité, ζ123 = i et ζ129 = −i sont les racines primitives quatrièmes de l'unité, ζ124 et ζ128 sont les racines primitives troisièmes de l'unité.