Repère de Frenet
En cinématique ou en géométrie différentielle, le repère de Frenet ou repère de Serret-Frenet est un outil d'étude du comportement local des courbes. Il s'agit d'un repère local associé à un point P, décrivant une courbe (C). Son mode de construction est différent selon que l'espace ambiant est de dimension 2 (courbe plane) ou 3 (courbe gauche) ; il est possible également de définir un repère de Frenet en toute dimension, pourvu que la courbe vérifie des conditions différentielles simples. Le repère de Frenet, et les formules de Frenet donnant les dérivées des vecteurs de ce repère, permettent de mener de façon systématique des calculs de courbure, de torsion pour les courbes gauches et d'introduire des concepts géométriques associés aux courbes : cercle osculateur, plan osculateur, parallélisme des courbes... Le cadre est le plan euclidien orienté rapporté à un repère orthonormal, les coordonnées sont notées et et l'origine . L'arc est supposé défini par des fonctions de classe , et régulier. Pour simplifier l'étude, on utilise un paramétrage normal , où est l’abscisse curviligne. On se place en un point particulier de paramètre . Comme l'arc est paramétré par l'abscisse curviligne, le vecteur dérivé, , est unitaire et tangent à la courbe, il est dirigé dans le sens du mouvement. Il porte le nom de vecteur tangent unitaire à la courbe et est noté traditionnellement . Le vecteur normal unitaire complète en une base orthonormale directe, appelée base de Frenet. Il s'obtient en effectuant une rotation de (quart de tour dans le sens direct) du vecteur . Le repère de Frenet est constitué en prenant en outre pour origine le point . Très souvent on abrège les notations en omettant le paramètre . Le repère de Frenet est un puisque les éléments de ce repère changent selon le point considéré. En physique, il ne faut pas confondre cette notion avec celle de référentiel : puisque les vecteurs de Frenet se déplacent avec le point, s'il s'agissait d'un référentiel alors le vecteur position serait le vecteur nul, et la vitesse serait également nulle.