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Concept
Fonction additive (arithmétique)
Résumé
En théorie des nombres, une fonction additive f est une fonction arithmétique (donc définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes ) telle que :
pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, f(ab) = f(a) + f(b)
(en particulier, f(1) = 0).
On dit que f est (une fonction additive) réelle si elle est uniquement à valeurs dans l'ensemble des nombres réels .
Une fonction arithmétique f est dite complètement additive lorsque :
Pour tous entiers a et b > 0, f(ab) = f(a) + f(b),
même si a et b ne sont pas premiers entre eux.
En dehors de la théorie des nombres, le terme additive est habituellement utilisé pour toutes les fonctions vérifiant :
Pour tous éléments a et b du domaine de définition de f, f(a + b) = f(a) + f(b).
Cet article ne concerne que les fonctions additives de la théorie des nombres.
Toute fonction complètement additive est additive, mais la réciproque est fausse.
la restriction de la fonction logarithme à N*.
la valuation p-adique, pour tout nombre premier p.
La fonction Ω associe à un entier naturel non nul n, le nombre avec répétition (i.e. en comptant de multiples fois les facteurs multiples) des facteurs premiers de n :
Par exemple () :
Ω(4) = 2 ;
Ω(24) = Ω(2 ⋅ 3) = 3 + 1 = 4 ;
Ω(27) = 3 ;
Ω(144) = Ω(24 ⋅ 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6 ;
Ω(2 000) = Ω(24 ⋅ 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7 ;
Ω(2 001) = 3 ;
Ω(2 002) = 4 ;
Ω(2 003) = 1 ;
Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 4 ;
Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 72 ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;
Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 112 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 7.
La fonction a0 (parfois appelée par les anglo-saxons sopfr) associe à un entier naturel non nul n la somme avec répétition des facteurs premiers de n :Par exemple () :
a0(4) = 4 ;
a0(20) = a0(22 ⋅ 5) = 2 + 2+ 5 = 9 ;
a0(27) = 9 ;
a0(144) = a0(24 ⋅ 32) = a0(24) + a0(32) = 8 + 6 = 14 ;
a0(2000) = a0(24 ⋅ 53) = a0(24) + a0(53) = 8 + 15 = 23 ;
a0(2001) = 55 ;
a0(2002) = 33 ;
a0(2003) = 2003 ;
a0(54 032 858 972 279) = 1240658 ;
a0(54 032 858 972 302) = 1780417 ;
a0(20 802 650 704 327 415) = 1240681.
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