En théorie des nombres, une fonction additive f est une fonction arithmétique (donc définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes ) telle que :
pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, f(ab) = f(a) + f(b)
(en particulier, f(1) = 0).
On dit que f est (une fonction additive) réelle si elle est uniquement à valeurs dans l'ensemble des nombres réels .
Une fonction arithmétique f est dite complètement additive lorsque :
Pour tous entiers a et b > 0, f(ab) = f(a) + f(b),
même si a et b ne sont pas premiers entre eux.
En dehors de la théorie des nombres, le terme additive est habituellement utilisé pour toutes les fonctions vérifiant :
Pour tous éléments a et b du domaine de définition de f, f(a + b) = f(a) + f(b).
Cet article ne concerne que les fonctions additives de la théorie des nombres.
Toute fonction complètement additive est additive, mais la réciproque est fausse.
la restriction de la fonction logarithme à N*.
la valuation p-adique, pour tout nombre premier p.
La fonction Ω associe à un entier naturel non nul n, le nombre avec répétition (i.e. en comptant de multiples fois les facteurs multiples) des facteurs premiers de n :
Par exemple () :
Ω(4) = 2 ;
Ω(24) = Ω(2 ⋅ 3) = 3 + 1 = 4 ;
Ω(27) = 3 ;
Ω(144) = Ω(24 ⋅ 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6 ;
Ω(2 000) = Ω(24 ⋅ 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7 ;
Ω(2 001) = 3 ;
Ω(2 002) = 4 ;
Ω(2 003) = 1 ;
Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 4 ;
Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 72 ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;
Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 112 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 7.
La fonction a0 (parfois appelée par les anglo-saxons sopfr) associe à un entier naturel non nul n la somme avec répétition des facteurs premiers de n :Par exemple () :
a0(4) = 4 ;
a0(20) = a0(22 ⋅ 5) = 2 + 2+ 5 = 9 ;
a0(27) = 9 ;
a0(144) = a0(24 ⋅ 32) = a0(24) + a0(32) = 8 + 6 = 14 ;
a0(2000) = a0(24 ⋅ 53) = a0(24) + a0(53) = 8 + 15 = 23 ;
a0(2001) = 55 ;
a0(2002) = 33 ;
a0(2003) = 2003 ;
a0(54 032 858 972 279) = 1240658 ;
a0(54 032 858 972 302) = 1780417 ;
a0(20 802 650 704 327 415) = 1240681.
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En mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble C des nombres complexes, et associée à une suite (a) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes : Ici, la suite (λ) est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est soit un demi-plan ouvert de C, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'ensemble vide, soit C tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature.
En théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par N*. Les fonctions arithmétiques les plus étudiées sont les fonctions additives et les fonctions multiplicatives. Une opération importante sur les fonctions arithmétiques est le produit de convolution de Dirichlet.
En théorie des nombres, une fonction additive f est une fonction arithmétique (donc définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes ) telle que : pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, f(ab) = f(a) + f(b) (en particulier, f(1) = 0). On dit que f est (une fonction additive) réelle si elle est uniquement à valeurs dans l'ensemble des nombres réels . Une fonction arithmétique f est dite complètement additive lorsque : Pour tous entiers a et b > 0, f(ab) = f(a) + f(b), même si a et b ne sont pas premiers entre eux.