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Concept
Graphe cubique
Résumé
En théorie des graphes, une branche des mathématiques, un graphe cubique est un graphe régulier de degré 3. En d'autres termes, c'est un graphe dans lequel il y a exactement trois arêtes incidentes à chaque sommet.
Le graphe complet K4 est le plus petit graphe cubique.
Le graphe biparti complet K3,3 est le plus petit graphe cubique non-planaire.
Le graphe de Petersen est le plus petit graphe cubique de maille 5.
Le graphe de Heawood est le plus petit graphe cubique de maille 6.
Le graphe de Frucht est le plus petit graphe cubique à être un graphe asymétrique.
Le 110-graphe de Iofinova-Ivanov est un graphe 3-régulier cubique biparti et hamiltonien.
Une conséquence du lemme des poignées de main est que tout graphe cubique a un nombre pair de sommets.
D'après le théorème de Brooks, les sommets d'un graphe cubique peuvent être coloriés avec trois couleurs (ou moins) de telle sorte que deux sommets adjacents ne soient pas de la même couleur, sauf dans le cas du graphe tétraédrique .
Un graphe bicubique est un graphe biparti régulier de degré 3, c'est-à-dire un graphe cubique dont les sommets peuvent être coloriés avec deux couleurs seulement.
Complete graph K4 4COL.svg|Le graphe complet K_4 est le seul graphe cubique nécessitant 4 couleurs
Frucht graph 3COL.svg|Coloration du [[graphe de Frucht]] avec 3 couleurs
Graph K3-3.svg|K_{3,3} est un graphe bicubique, 2 couleurs suffisent
PetersenBarveniHran.svg|Les arêtes du graphe de Petersen, un snark, ont besoin de 4 couleurs
D'après le théorème de Vizing, les arêtes d'un graphe cubique peuvent être colorées avec 3 ou 4 couleurs sans que deux arêtes de même couleur ne soient incidentes au même sommet. Les snarks sont les graphes cubiques connexes et sans isthme qui ont besoin de 4 couleurs.
Le théorème de Petersen précise que tout graphe cubique sans isthme possède un couplage parfait.
En d'autres termes, si, dans un graphe cubique, toute arête appartient à un cycle, alors il existe un ensemble d'arêtes qui sont incidentes à tous les sommets, chaque sommet n'étant l'extrémité que d'une seule de ces arêtes.
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Publications associées (43)
Concepts associés (43)
Graphe symétrique
En théorie des graphes, un graphe non orienté G=(V,E) est symétrique (ou arc-transitif) si, étant donné deux paires quelconques de sommets reliés par une arête u1—v1 et u2—v2 de G, il existe un automorphisme de graphe : tel que et . En d'autres termes, un graphe est symétrique si son groupe d'automorphismes agit transitivement sur ses paires ordonnées de sommets reliés. Un tel graphe est parfois appelé 1-arc-transitif. Par définition, un graphe symétrique sans sommet isolé est sommet-transitif et arête-transitif.
Coloration des arêtes d'un graphe
thumb|Coloration des arêtes du graphe de Desargues avec trois couleurs. En théorie des graphes et en algorithmique, une coloration des arêtes d'un graphe consiste à attribuer à chaque arête une couleur, en évitant que deux arêtes ayant une extrémité commune soient de la même couleur. La figure ci-contre est un exemple de coloration d'arêtes correcte. On vérifie en effet qu'aucun sommet n'est commun à deux arêtes de même couleur. On remarquera qu'ici, il n'aurait pas été possible de colorer les arêtes du graphe avec seulement deux couleurs.
Snark (graphe)
En théorie des graphes, une branche des mathématiques, un snark est un graphe cubique connexe, sans isthme et d'indice chromatique égal à 4. En d'autres termes, c'est un graphe dans lequel chaque sommet a trois voisins, et dont les arêtes ne peuvent pas être colorées avec seulement 3 couleurs sans que deux arêtes de même couleur ne se rencontrent en un même sommet (d'après le théorème de Vizing, l'indice chromatique d'un graphe cubique est 3 ou 4). Pour éviter les cas triviaux, on exige souvent de plus que les snarks aient une maille d'au moins 5.