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Concept
Partie génératrice d'un groupe
Résumé
En théorie des groupes, une partie génératrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de A et de leurs inverses.
Un groupe est dit de type fini lorsqu'il admet une partie génératrice finie. Un groupe engendré par un seul élément est isomorphe soit au groupe additif des entiers relatifs (Z, +), soit à un groupe additif de classes modulo n (Z/nZ, +) ; on dit que c'est un groupe monogène. Les sous-groupes des groupes commutatifs de type fini sont également de type fini, mais cela n'est pas vrai sans hypothèse de commutativité.
Soit G un groupe. Toute intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G. Pour une partie S de G, il existe un sous-groupe de G minimal pour l'inclusion parmi les sous-groupes contenant S, à savoir l'intersection de tous les sous-groupes contenant S. On l'appelle sous-groupe engendré par S, et on le note ⟨S⟩.
Description : On dispose d'une description explicite des éléments du groupe ⟨S⟩. Ce sont exactement les produits d'éléments ou d'inverses de S :
On dit que S est une partie génératrice du groupe G, ou que G est engendré par S, lorsque le sous-groupe engendré par S est G :
Autrement dit, tout élément de G est produit d'éléments de S ou de leurs inverses.
Tout groupe fini d'ordre n possède une partie génératrice d'ordre , où est la décomposition de n en facteurs premiers.
Groupe monogène
Un groupe est dit monogène, s'il est engendré par un seul de ses éléments :G est monogène s'il existe un élément a de G tel que G = ⟨{a}⟩.
Si de plus il est fini, il est dit cyclique.
La classification des groupes monogènes n'est pas difficile. Si a engendre G, le morphisme de groupes Z → G, n ↦ an est surjectif. Par le théorème d'isomorphisme, cet homomorphisme induit l'isomorphisme : G≃Z/ker(f). Or, ker(f) est un sous-groupe de Z, et ces sous-groupes sont bien connus : il s'agit des groupes nZ avec n entier naturel. L'isomorphisme ci-dessus s'écrit alors : G ≃ Z/nZ.
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