Homologie de HochschildL’homologie de Hochschild et la cohomologie de Hochschild sont des théories homologiques et cohomologiques définies à l'origine pour les algèbres associatives, mais qui ont été généralisées à des catégories plus générales. Elles ont été introduites par Gerhard Hochschild en 1945. La cohomologie cyclique développée par Alain Connes et Jean-Louis Loday en est une généralisation. La cohomologie de Hochschild classifie les de la structure multiplicative de l'algèbre considérée, et d'une manière générale l'homologie comme la cohomologie de Hochschild possèdent une riche structure algébrique.
Algèbre de HopfEn mathématiques, une algèbre de Hopf, du nom du mathématicien Heinz Hopf, est une bialgèbre qui possède en plus une opération (l'antipode) qui généralise la notion de passage à l'inverse dans un groupe. Ces algèbres ont été introduites à l'origine pour étudier la cohomologie des groupes de Lie. Les algèbres de Hopf interviennent également en topologie algébrique, en théorie des groupes et dans bien d'autres domaines. Enfin, ce qu'on appelle les groupes quantiques sont souvent des algèbres de Hopf « déformées » et qui ne sont en général ni commutatives, ni cocommutatives.
Coherent dualityIn mathematics, coherent duality is any of a number of generalisations of Serre duality, applying to coherent sheaves, in algebraic geometry and complex manifold theory, as well as some aspects of commutative algebra that are part of the 'local' theory. The historical roots of the theory lie in the idea of the adjoint linear system of a linear system of divisors in classical algebraic geometry. This was re-expressed, with the advent of sheaf theory, in a way that made an analogy with Poincaré duality more apparent.
Polynôme non commutatifIn mathematics, especially in the area of abstract algebra known as ring theory, a free algebra is the noncommutative analogue of a polynomial ring since its elements may be described as "polynomials" with non-commuting variables. Likewise, the polynomial ring may be regarded as a free commutative algebra. For R a commutative ring, the free (associative, unital) algebra on n indeterminates {X1,...,Xn} is the free R-module with a basis consisting of all words over the alphabet {X1,...
Anneau commutatifUn anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.
Algèbre associativevignette|Relations entre certaines structures algébriques. En mathématiques, une algèbre associative (sur un anneau commutatif A) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un anneau (ou simplement un pseudo-anneau) B muni d'une structure supplémentaire de module sur A et tel que la loi de multiplication de l'anneau B soit A-bilinéaire. C'est donc un cas particulier d'algèbre sur un anneau. Soit A un anneau commutatif. On dit que (B , + , . , × ) est une A-algèbre associative lorsque : (B , + , .
Non-associative algebraA non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation.
Noncommutative ringIn mathematics, a noncommutative ring is a ring whose multiplication is not commutative; that is, there exist a and b in the ring such that ab and ba are different. Equivalently, a noncommutative ring is a ring that is not a commutative ring. Noncommutative algebra is the part of ring theory devoted to study of properties of the noncommutative rings, including the properties that apply also to commutative rings. Sometimes the term noncommutative ring is used instead of ring to refer to an unspecified ring which is not necessarily commutative, and hence may be commutative.
Spectre (topologie)En topologie algébrique, une branche des mathématiques, un spectre est un objet représentant une théorie cohomologique généralisée (qui découle du ). Cela signifie que, étant donné une théorie de cohomologie,il existe des espaces tels que l'évaluation de la théorie cohomologique en degré sur un espace équivaut à calculer les classes d'homotopie des morphismes à l'espace , soit encore.Remarquons qu'il existe plusieurs catégories de spectres différentes conduisant à de nombreuses difficultés techniques, mais ils déterminent tous la même , connue sous le nom de catégorie d'homotopie stable.
Algèbre à divisionEn mathématiques, et plus précisément en algèbre, une algèbre à division est une algèbre sur un corps avec la possibilité de diviser par un élément non nul (à droite et à gauche). Toutefois, dans une algèbre à division, la multiplication peut ne pas être commutative, ni même associative. Un anneau à division ou corps gauche, comme celui-des quaternions, est une algèbre associative à division sur son centre, ou sur un sous-corps de celui-ci. Soit A un anneau unitaire. L'élément 0 n'est pas inversible, sauf si A est nul.
