Anneau localEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, un anneau local est un anneau commutatif possédant un unique idéal maximal. En géométrie algébrique, les anneaux locaux représentent les fonctions définies au voisinage d'un point donné. Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes : A est local ; ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A et coïncidera avec son radical de Jacobson) ; ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible ; pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche ; il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible.
Foncteur HomEn mathématiques, le foncteur Hom est un foncteur associé aux morphismes de la catégorie des ensembles. Il est central en théorie des catégories, notamment du fait de son rôle dans le lemme de Yoneda et parce qu'il permet de définir le foncteur Ext. Soit une catégorie localement petite. Pour tout couple d'objets A et B dans cette catégorie, un morphisme induit une fonction pour tout objet X.
Foncteur exactEn mathématiques, un foncteur exact est un foncteur qui commute aux limites inductives et projectives. De manière équivalente, c'est un foncteur qui préserve les suites exactes de catégories abéliennes et c'est de cela que vient la dénomination. Des foncteurs de ce type apparaissent naturellement en homologie et d'une manière générale en théorie des catégories, où leurs propriétés permettent des calculs élégants. Le « défaut d'exactitude » est mesuré par les foncteurs dérivés, par exemple les foncteurs Tor et Ext.
Produit tensoriel de deux modulesLe produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de l'analyse fonctionnelle, de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.
Localisation (mathématiques)En algèbre, la localisation est une des opérations de base de l'algèbre commutative. C'est une méthode qui construit à partir d'un anneau commutatif un nouvel anneau. La construction du corps des fractions est un cas particulier de la localisation. La localisation consiste à rendre inversibles les éléments d'une partie (« partie multiplicative ») de l'anneau. L'exemple le plus connu est le corps des fractions d'un anneau intègre qui se construit en rendant inversibles tous les éléments non nuls de l'anneau.
Catégorie des petites catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des petites catégories, notée Cat, est la catégorie dont les objets sont les petites catégories et dont les morphismes sont les foncteurs entre petites catégories. Cat peut en fait être considérée comme une 2-catégorie, les transformations naturelles servant de 2-morphismes. L'objet initial de Cat est la catégorie vide 0, qui est la catégorie sans objets et sans morphismes. L'objet final est la catégorie finale ou catégorie triviale 1 ayant un seul objet et un seul morphisme.
Polynôme formelEn algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aX), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X].
Complete latticeIn mathematics, a complete lattice is a partially ordered set in which all subsets have both a supremum (join) and an infimum (meet). A lattice which satisfies at least one of these properties is known as a conditionally complete lattice. Specifically, every non-empty finite lattice is complete. Complete lattices appear in many applications in mathematics and computer science. Being a special instance of lattices, they are studied both in order theory and universal algebra.
Union (mathématiques)Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion est une opération ensembliste de base. En algèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique ou inclusif et est notée ∪. L'union de deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On la note A ∪ B et on la dit « A union B » Formellement : Par exemple l'union des ensembles A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4} est l'ensemble {1, 2, 3, 4}.
Foncteur ExtLes foncteurs Ext sont les foncteurs dérivés du foncteur Hom. Ils sont d'abord apparus en algèbre homologique, où ils jouent un rôle central par exemple dans le théorème des coefficients universels, mais interviennent aujourd'hui dans de nombreuses branches différentes des mathématiques. Ce foncteur apparaît originellement dans l'étude des extensions de modules, d'où il tire son nom. Soit A une catégorie abélienne. D'après le théorème de plongement de Mitchell, on peut toujours imaginer travailler avec une catégorie de modules.
