Caractéristique d'EulerEn mathématiques, et plus précisément en géométrie et en topologie algébrique, la caractéristique d'Euler — ou d'Euler-Poincaré — est un invariant numérique, un nombre qui décrit un aspect d'une forme d'un espace topologique ou de la structure de cet espace. Elle est communément notée χ. La caractéristique d'Euler fut définie à l'origine pour les polyèdres et fut utilisée pour démontrer divers théorèmes les concernant, incluant la classification des solides de Platon.
Polynôme caractéristiqueEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, à toute matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur l'endomorphisme, comme ses valeurs propres, son déterminant et sa trace. Le théorème de Cayley-Hamilton assure que toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique.
Vecteur de WittLes vecteurs de Witt sont des objets mathématiques, généralement décrits comme des suites infinies de nombres (ou plus généralement d'éléments d'un anneau). Ils ont été introduits par Ernst Witt en 1936, afin de décrire les extensions non ramifiées des corps de nombres p-adiques. Ces vecteurs sont dotés d'une structure d'anneau ; on parle donc de l’anneau des vecteurs de Witt. Ils apparaissent aujourd'hui dans plusieurs branches de la géométrie algébrique et arithmétique, en théorie des groupes et en physique théorique.
Topos (mathématiques)En mathématiques, un topos (au pluriel topos ou topoï) est un type particulier de catégorie. La théorie des topoï est polyvalente et est utilisée dans des domaines aussi variés que la logique, la topologie ou la géométrie algébrique. Un topos peut être défini comme une catégorie pourvue : de limites et colimites finies ; d'exponentielles ; d'un . D'autres définitions équivalentes sont données plus bas.
Motif (géométrie algébrique)La théorie des motifs est un domaine de recherche mathématique qui tente d'unifier les aspects combinatoires, topologiques et arithmétiques de la géométrie algébrique. Introduite au début des années 1960 et de manière conjecturale par Alexander Grothendieck afin de mettre au jour des propriétés supposées communes à différentes théories cohomologiques, elle se trouve au cœur de nombreux problèmes ouverts en mathématiques pures. En particulier, plusieurs propriétés des courbes elliptiques semblent motiviques par nature, comme la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.
Corps de nombresEn mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Cohomologie cristallineLa cohomologie cristalline est une cohomologie de Weil pour les schémas, introduite par Alexander Grothendieck en 1966 et développée par Pierre Berthelot. Elle étend le domaine d'application de la cohomologie étale en considérant les modules sur les anneaux de vecteurs de Witt sur le corps de base. Conjectures de Weil Dans l'étude des variétés différentiables compactes, la formule de Lefschetz permet de calculer le nombre de points fixes d'un morphisme de la variété dans elle-même.
SymétrisationEn mathématiques, la symétrisation d'un monoïde est une opération de construction d'un groupe dans lequel se projette le monoïde initial, de manière naturelle. On parle parfois de groupe de Grothendieck du monoïde considéré. Ce procédé est notamment appliqué pour construire l'ensemble des entiers relatifs à partir de celui des entiers naturels. Si le monoïde de départ est muni d'une seconde loi de composition qui en fait un semi-anneau commutatif, son symétrisé est un anneau commutatif.
Théorie des corps de classesvignette|Les racines cinquièmes de l'unité dans le plan complexe. Ajouter ces racines aux nombres rationnels génère une extension abélienne. En mathématiques, la théorie des corps de classes est une branche majeure de la théorie algébrique des nombres qui a pour objet la classification des extensions abéliennes, c'est-à-dire galoisiennes et de groupe de Galois commutatif, d'un corps commutatif donné. Plus précisément, il s'agit de décrire et de construire ces extensions en termes de propriétés arithmétiques du corps de base lui-même.
