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Concept
Théorie des corps de classes
Résumé
vignette|Les racines cinquièmes de l'unité dans le plan complexe. Ajouter ces racines aux nombres rationnels génère une extension abélienne.
En mathématiques, la théorie des corps de classes est une branche majeure de la théorie algébrique des nombres qui a pour objet la classification des extensions abéliennes, c'est-à-dire galoisiennes et de groupe de Galois commutatif, d'un corps commutatif donné. Plus précisément, il s'agit de décrire et de construire ces extensions en termes de propriétés arithmétiques du corps de base lui-même.
La plupart des résultats centraux ont été démontrés dans la période s'étendant entre 1900 et 1950. La théorie a été nommée ainsi en rapport avec les idées, conjectures et résultats de ses débuts, tel que le corps de classes de Hilbert, et s'organisa vers 1930.
De nos jours, le terme est généralement utilisé comme synonyme de l'étude de toutes les extensions abéliennes des corps de nombres algébriques (et plus généralement des corps globaux), mais aussi des corps de nombres p-adiques (et plus généralement des corps locaux).
Une autre ligne importante est la recherche de générateurs explicites pour les corps de classes de corps de nombres algébriques, c'est-à-dire de générateurs donnés par les valeurs de fonctions transcendantes. C'est le Kronecker Jugendtraum (rêve de jeunesse de Kronecker). Il n'est encore réalisé que pour de rares cas, notamment celui du corps des rationnels (théorème de Kronecker-Weber, où les générateurs sont des racines de l'unité, c'est-à-dire des valeurs de la fonction exponentielle), et des corps quadratiques imaginaires (cas des corps à multiplication complexe, où les générateurs sont des valeurs de fonctions elliptiques).
Soit K un corps commutatif fixé. En langage moderne, il existe une extension abélienne « maximale » A de K, qui sera de degré infini sur K ; et associé à A, un groupe de Galois G qui sera un groupe profini, donc un groupe topologique compact, et aussi abélien. Nous nous intéressons à la description de G en termes de K.
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