Fonction elliptique de WeierstrassEn analyse complexe, les fonctions elliptiques de Weierstrass forment une classe importante de fonctions elliptiques c'est-à-dire de fonctions méromorphes doublement périodiques. Toute fonction elliptique peut être exprimée à l'aide de celles-ci. Supposons que l'on souhaite fabriquer une telle fonction de période 1. On peut prendre une fonction quelconque, définie sur [0, 1] et telle que f(0) = f(1) et la prolonger convenablement. Un tel procédé a des limites. Par exemple, on obtiendra rarement des fonctions analytiques de cette façon.
Weber modular functionIn mathematics, the Weber modular functions are a family of three functions f, f1, and f2, studied by Heinrich Martin Weber. Let where τ is an element of the upper half-plane. Then the Weber functions are These are also the definitions in Duke's paper "Continued Fractions and Modular Functions". The function is the Dedekind eta function and should be interpreted as . The descriptions as quotients immediately imply The transformation τ → –1/τ fixes f and exchanges f1 and f2.
Variété de ShimuraEn algèbre, les variétés de Shimura sont des analogues de dimension élevée des courbes modulaires. Ils sont formés comme la variété de quotient d'un espace hermitien symétrique par rapport à un sous-groupe de congruence d'un groupe réductif algébrique (défini sur les nombres rationnels). Les variétés de Shimura portent le nom de Gorō Shimura. Notation: est le groupe multiplicatif (un groupe algébrique), c'est-à-dire est le tore de Deligne, c'est-à-dire le tore algébrique sur , que l'on obtient de sur par la restriction de Weil ().
Courbe elliptiqueEn mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants.
Géométrie algébriqueLa géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces...) composés des points dont les coordonnées vérifiaient des équations ne faisant intervenir que des sommes et des produits (par exemple le cercle unité dans le plan rapporté à un repère orthonormé admet pour équation ). La simplicité de cette définition fait qu'elle embrasse un grand nombre d'objets et qu'elle permet de développer une théorie riche.
Cycle (géométrie algébrique)En géométrie algébrique, les cycles sont des combinaisons formelles de fermés irréductibles d'un schéma donné. Le quotient du groupe des cycles par une relation d'équivalence convenable aboutit aux qui sont des objets fondamentaux. Tous les schémas considérés ici seront supposés noethériens de dimension finie. On fixe un schéma qu'on supposera noethérien de dimension finie . Pour tout entier positif ou nul , on appelle -cycle irréductible (resp. -cocycle irréductible) de un fermé irréductible de dimension (resp.
Upper half-planeIn mathematics, the upper half-plane, is the set of points in the Cartesian plane with The lower half-plane is defined similarly, by requiring that be negative instead. Each is an example of two-dimensional half-space. The affine transformations of the upper half-plane include shifts , , and dilations , . Proposition: Let and be semicircles in the upper half-plane with centers on the boundary. Then there is an affine mapping that takes to . Proof: First shift the center of to . Then take and dilate.
Groupe algébriqueEn géométrie algébrique, la notion de groupe algébrique est un équivalent des groupes de Lie en géométrie différentielle ou complexe. Un groupe algébrique est une variété algébrique munie d'une loi de groupe compatible avec sa structure de variété algébrique. Un groupe algébrique sur un corps (commutatif) K est une variété algébrique sur munie : d'un morphisme de K-variétés algébriques (appelé aussi multiplication) .
Nombre algébriqueUn nombre algébrique, en mathématiques, est un nombre complexe solution d'une équation polynomiale à coefficients dans le corps des rationnels (autrement dit racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels). Les nombres entiers et rationnels sont algébriques, ainsi que toutes les racines de ces nombres. Les nombres complexes qui ne sont pas algébriques, comme π et e (théorème de Lindemann-Weierstrass), sont dits transcendants. L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent fait partie de la théorie de Galois.
Variété abélienneEn mathématiques, et en particulier, en géométrie algébrique et géométrie complexe, une variété abélienne A est une variété algébrique projective qui est un groupe algébrique. La condition de est l'équivalent de la compacité pour les variétés différentielles ou analytiques, et donne une certaine rigidité à la structure. C'est un objet central en géométrie arithmétique. Une variété abélienne sur un corps k est un groupe algébrique A sur k, dont la variété algébrique sous-jacente est projective, connexe et géométriquement réduite.
