Fonction Lvignette|Représentation de la fonction ζ de Riemann, exemple le plus classique de fonction L En mathématiques, la théorie des fonctions L est devenue une branche très substantielle, et encore largement conjecturelle, de la théorie analytique des nombres contemporaine. On y construit de larges généralisations de la fonction zêta de Riemann et même des séries L pour un caractère de Dirichlet et on y énonce de manière systématique leurs propriétés générales, qui dans la plupart des cas sont encore hors de portée d'une démonstration.
Hypothèse de RiemannEn mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale.
Série de DirichletEn mathématiques, une série de Dirichlet est une série f(s) de fonctions définies sur l'ensemble C des nombres complexes, et associée à une suite (a) de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes : Ici, la suite (λ) est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est soit un demi-plan ouvert de C, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'ensemble vide, soit C tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature.
Fonction zêta de Riemannvignette|upright=2|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s) : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l'argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1 est le pôle ; les points noirs sur l'axe réel négatif (demi-droite horizontale) et sur la droite critique Re(s) = 1/2 (droite verticale) sont les zéros. vignette|upright=2|Carte des couleurs utilisées dans la figure du dessus.
Fonction bêta de Dirichletvignette|Graphique de la fonction bêta de Drichlet En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4. Elle est définie, pour tout complexe s de partie réelle strictement positive, par la série : ou par l'intégrale Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes : Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch : qui est aussi valable pour tous nombres complexes.
Fonction zêta de DedekindEn mathématiques, la fonction zêta de Dedekind est une série de Dirichlet définie pour tout corps de nombres K. C'est la fonction de la variable complexe s définie par la somme infinie : prise sur tous les idéaux I non nuls de l'anneau O des entiers de K, où N(I) désigne la norme de I (relative au corps Q des rationnels). Cette norme est égale au cardinal de l'anneau quotient O/I. En particulier, ζ est la fonction zêta de Riemann. Les propriétés de la fonction méromorphe ζ ont une signification considérable en théorie algébrique des nombres.
Caractère de DirichletEn mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, un caractère de Dirichlet est une fonction particulière sur un ensemble de classes de congruences sur les entiers et à valeurs complexes. Elle a été utilisée par Dirichlet pour la démonstration de son théorème de la progression arithmétique. Dans cet article, n désigne un entier strictement positif et U le groupe des unités (Z/nZ) de l'anneau Z/nZ. Dans le corps C des nombres complexes, le conjugué d'un nombre c est noté .
Quadratic fieldIn algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over , the rational numbers. Every such quadratic field is some where is a (uniquely defined) square-free integer different from and . If , the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and, if , it is called an imaginary quadratic field or a complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers.
Moment (probabilités)En théorie des probabilités et en statistique, les moments d’une variable aléatoire réelle sont des indicateurs de la dispersion de cette variable. Le premier moment ordinaire, appelé moment d'ordre 1 est l'espérance (i.e la moyenne) de cette variable. Le deuxième moment centré d'ordre 2 est la variance. Ainsi, l'écart type est la racine carrée du moment centré d’ordre 2. Le moment d'ordre 3 est l'asymétrie. Le moment d'ordre 4 est le kurtosis. Le concept de moment est proche du concept de moment en physique.
Moment quadratiqueLe moment quadratique est une grandeur qui caractérise la géométrie d'une section et se définit par rapport à un axe ou un point. Il s'exprime dans le Système international en m (mètre à la puissance 4). Le moment quadratique est utilisé en résistance des matériaux, il est indispensable pour calculer la résistance et la déformation des poutres sollicitées en torsion () et en flexion ( et ). En effet, la résistance d'une section sollicitée selon un axe donné varie avec son moment quadratique selon cet axe.
