Inégalité (mathématiques)En mathématiques, une inégalité est une formule reliant deux expressions numériques avec un symbole de comparaison. Une inégalité stricte compare nécessairement deux valeurs différentes tandis qu’une inégalité large reste valable en cas d’égalité. Contrairement à une interprétation étymologique, la négation d’une égalité (avec le symbole ≠) n’est pas considérée comme une inégalité et se traite différemment. Les inégalités permettent d’encadrer ou de distinguer des valeurs réelles, de préciser une approximation, de justifier le comportement asymptotique d’une série ou d’une intégrale.
Clôture (mathématiques)On parle de clôture ou de fermeture en mathématiques dans des contextes très divers. Quelques exemples sont listés ci-dessous. En mathématiques, on dit qu'une partie A d'un ensemble E est stable (ou close) pour une opération définie sur E si cette opération, appliquée à des éléments de A, produit toujours un élément de A. Par exemple, l'ensemble des nombres réels est stable par soustraction, tandis que l'ensemble des entiers naturels ne l'est pas (la différence de deux entiers naturels est parfois un entier relatif strictement négatif).
Relation réflexiveEn mathématiques, une relation binaire peut avoir, entre autres propriétés, la réflexivité ou bien l'antiréflexivité (ou irréflexivité). Une relation R sur un ensemble X est dite : réflexive si tout élément de X est R-relié à lui-même :ou encore, si le graphe de R contient la diagonale de X (qui est le graphe de l'égalité) ; antiréflexive (ou irréflexive) si aucun élément de X n'est R-relié à lui-même :ou encore, si son graphe est disjoint de la diagonale de X.
Fermeture transitiveLa fermeture transitive est une opération mathématique pouvant être appliquée sur des relations binaires sur un ensemble, autrement dit sur des graphes orientés. La clôture transitive, ou fermeture transitive R d'une relation binaire R sur un ensemble X est la relation ce qui peut également se traduire ainsi : Si on nomme la relation "il existe un chemin de taille n entre a et b" On définit C'est la plus petite relation transitive sur X contenant R.
Plan en blocsEn mathématiques combinatoires, un plan en blocs est un ensemble, muni d'une famille de sous-ensembles (avec des répétitions possibles) dont les membres satisfont un ensemble de propriétés considérées dans une application particulière. Les applications proviennent de nombreux domaines, notamment les plans d'expériences, la géométrie finie, la chimie physique, les tests de logiciels, la cryptographie et la géométrie algébrique.
Abstract rewriting systemIn mathematical logic and theoretical computer science, an abstract rewriting system (also (abstract) reduction system or abstract rewrite system; abbreviated ARS) is a formalism that captures the quintessential notion and properties of rewriting systems. In its simplest form, an ARS is simply a set (of "objects") together with a binary relation, traditionally denoted with ; this definition can be further refined if we index (label) subsets of the binary relation.
ÉquipotenceEn mathématiques, l’équipotence est une relation entre ensembles, selon laquelle deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cette notion permet de définir la cardinalité, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, qu'il soit fini ou infini. La subpotence est une relation plus faible, satisfaite lorsqu'il existe une injection entre deux ensembles. Elle permet de définir une comparaison de taille entre les ensembles, sans présupposer la construction des nombres cardinaux.
Trichotomie (mathématiques)En mathématiques, le principe de la trichotomie indique que tout nombre réel est soit positif, soit négatif, soit nul. sur un ensemble X tel que pour tous x et y, seulement l'une des relations suivantes tient: , ou . En notation mathématique, ceci est noté En supposant que la commande est irréflexive et transitive, cela peut être simplifié tel que En logique classique, l'axiome de la trichotomie tient à la comparaison ordinaire entre les nombres réels, et donc aussi pour les comparaisons entre entiers et entre nombres rationnels.
Élément maximalDans un ensemble ordonné, un élément maximal est un élément tel qu'il n'existe aucun autre élément de cet ensemble qui lui soit supérieur, c'est-à-dire que a est dit élément maximal d'un ensemble ordonné (E, ≤) si a est un élément de E tel que : De même, a est un élément minimal de E si : Pour tout élément a de E, on a les équivalences et l'implication (stricte) : a est un majorant de E ⇔ a est la borne supérieure de E ⇔ a est l'élément maximum (ou « plus grand élément ») de E ⇒ a est l'unique élément maxima
Relation symétriqueEn mathématiques, une relation (binaire, interne) R est dite symétrique si elle vérifie : ou encore, si elle est égale à sa relation réciproque. Exemples : les relations d'équivalence sont les préordres symétriques ; sur l'ensemble des entiers, la relation « forme un produit pair avec » est symétrique, car la multiplication des entiers est commutative. La clôture symétrique d'une relation R est la relation (sur le même ensemble) dont le graphe est l'union de ceux de R et de sa réciproque.
