Théorème de modularité

Le théorème de modularité (auparavant appelé conjecture de Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama) énonce que, pour toute courbe elliptique sur Q, il existe une forme modulaire de poids 2 pour un Γ(N), ayant même fonction L que la courbe elliptique. Une grande partie de ce résultat, suffisante pour en déduire le dernier théorème de Fermat, a été démontrée par Andrew Wiles. S'inspirant de ses techniques, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor ont traité les cas restants en 1999. Ce théorème est un cas très particulier de conjectures énoncées par Robert Langlands reliant motifs et représentations automorphes. La (partie affine d'une) courbe elliptique E définie sur Q (le corps des nombres rationnels) est donnée par une équation du type où les coefficients sont des entiers. On peut choisir une telle équation minimale (c'est-à-dire que le discriminant est minimal). Si p est un nombre premier, on peut réduire modulo p les coefficients de cette équation minimale définissant E ; pour toutes les valeurs de p, sauf un nombre fini, l'équation réduite définit une courbe elliptique sur le corps fini Fp. L'équation réduite a n solutions. On peut alors considérer la suite a = p – n qui est un invariant important de la courbe elliptique E. Par ailleurs, une forme modulaire donne aussi naissance à une suite de coefficients. Une courbe elliptique telle que la suite des a est en accord avec celle obtenue à partir d'une forme modulaire est appelée modulaire. Le théorème de modularité prédit que :« Toutes les courbes elliptiques sur Q sont modulaires. » Une version faible fut énoncée par Yutaka Taniyama en , au cours d'une session de problèmes lors d'une conférence à Tokyo : il demanda s'il était possible de trouver une forme dont la transformée de Mellin donnerait la fonction L de Hasse-Weil de la courbe elliptique. Dans une série d'articles, Gorō Shimura construisit pour chaque forme modulaire dotée de bonnes propriétés (en particulier de poids 2 et à coefficients rationnels) une courbe elliptique adéquate, c'est-à-dire qu'il établit la moitié du dictionnaire entre « elliptique » et « modulaire ».