Point rationnelEn théorie des nombres et géométrie algébrique, les points rationnels d'une variété algébrique définie sur un corps sont, lorsque X est définie par un système d'équations polynomiales, les solutions dans k de ce système. Soit une variété algébrique définie sur un corps . Un point est appelé un point rationnel si le corps résiduel de X en x est égal à . Cela revient à dire que les coordonnées du point dans une carte locale affine appartiennent toutes à .
Extension cyclotomiqueEn théorie algébrique des nombres, on appelle extension cyclotomique du corps Q des nombres rationnels tout corps de rupture d'un polynôme cyclotomique, c'est-à-dire tout corps de la forme Q(ζ) où ζ est une racine de l'unité. Ces corps jouent un rôle crucial, d'une part dans la compréhension de certaines équations diophantiennes : par exemple, l'arithmétique (groupe des classes, notamment) de leur anneau des entiers permet de montrer le dernier théorème de Fermat dans de nombreux cas (voir nombre premier régulier) ; mais aussi, dans la compréhension des extensions algébriques de Q, ce qui peut être considéré comme une version abstraite du problème précédent : le théorème de Kronecker-Weber, par exemple, assure que toute extension abélienne est contenue dans une extension cyclotomique.
Ernst KummerErnst Eduard Kummer (1810-1893) est un mathématicien allemand. À l'âge de 3 ans, Kummer perd son père, un médecin. Il fait des études à l'université de Halle, d'abord en théologie puis en mathématiques. Il devient docteur en mathématique en 1831. Il enseigne pendant 10 ans au lycée de Liegnitz, où il a Leopold Kronecker et Ferdinand Joachimsthal comme élèves. Nommé en 1840 professeur à l'université de Breslau grâce à l'appui de Jacobi et de Dirichlet, il reprend la chaire de ce dernier à l'université de Berlin en 1855.
Nombre premier régulierEn mathématiques, un nombre premier p > 2 est dit régulier si une certaine propriété liée aux racines du polynôme X – 1 est vérifiée. Cette notion a été introduite par Ernst Kummer en 1847, en vue de démontrer le « dernier théorème de Fermat », dans un article intitulé . Un nombre premier impair p est dit régulier s'il ne divise pas le nombre de classes du corps cyclotomique Q(ζp), où ζp est une racine primitive p-ième de l'unité.
Méthode de descente infinieLa méthode de descente infinie est un argument mathématique voisin du raisonnement par récurrence, mais aussi du raisonnement par l'absurde, qui utilise le fait qu'une suite d'entiers naturels strictement décroissante est nécessairement finie. Cette méthode repose sur l'une des propriétés des entiers naturels : « tout ensemble non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément. » Soit P(n) une propriété faisant intervenir un entier naturel n. On cherche à démontrer que P(n) est fausse pour tout n.
Théorie d'IwasawaLa théorie d'Iwasawa peut être vue comme une tentative d'étendre les résultats arithmétiques classiques sur les corps de nombres (extensions finies du corps des rationnels) à des extensions infinies de , par des procédés de passage à la limite des extensions finies vers les extensions infinies. Les objets de base de la théorie d'Iwasawa sont les -extensions ; c'est-à-dire des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est le groupe profini , pour un nombre premier fixé.
Vecteur de WittLes vecteurs de Witt sont des objets mathématiques, généralement décrits comme des suites infinies de nombres (ou plus généralement d'éléments d'un anneau). Ils ont été introduits par Ernst Witt en 1936, afin de décrire les extensions non ramifiées des corps de nombres p-adiques. Ces vecteurs sont dotés d'une structure d'anneau ; on parle donc de l’anneau des vecteurs de Witt. Ils apparaissent aujourd'hui dans plusieurs branches de la géométrie algébrique et arithmétique, en théorie des groupes et en physique théorique.
Richard Taylor (mathématicien)Richard Lawrence Taylor, né le , est un mathématicien britannique spécialiste de théorie des nombres. Ex-étudiant de thèse d'Andrew Wiles, il est retourné à Princeton pour aider son directeur de recherches à achever la preuve du dernier théorème de Fermat. Taylor a partagé en 2007 le prix Shaw en mathématiques avec Robert Langlands, pour leurs avancées dans le programme de ce dernier. Après un B.A. au Clare College de Cambridge et un Ph.D. à Princeton en 1988, Taylor a occupé, de 1995 à 1996, la chaire Savilienne de géométrie au New College d'Oxford.
Ribet's theoremRibet's theorem (earlier called the epsilon conjecture or ε-conjecture) is part of number theory. It concerns properties of Galois representations associated with modular forms. It was proposed by Jean-Pierre Serre and proven by Ken Ribet. The proof was a significant step towards the proof of Fermat's Last Theorem (FLT). As shown by Serre and Ribet, the Taniyama–Shimura conjecture (whose status was unresolved at the time) and the epsilon conjecture together imply that FLT is true.
Pierre de FermatPierre de Fermat, né dans la première décennie du , à Beaumont-de-Lomagne (département actuel de Tarn-et-Garonne), près de Montauban, et mort le à Castres (département actuel du Tarn), est un magistrat, polymathe et surtout mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs ». Il est aussi poète, habile latiniste et helléniste, et s'est intéressé aux sciences et en particulier à la physique ; on lui doit notamment le principe de Fermat en optique.
