Conjecture d'EulerLa conjecture d'Euler est une conjecture mathématique de théorie des nombres, réfutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1772, et qui s'énonce de la façon suivante : Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième. En d'autres termes, et de manière plus formelle : Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la conjecture de Fermat, à savoir que pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de deux puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième.
Louis MordellLouis Joel Mordell est un mathématicien américano-britannique, né le à Philadelphie et mort le à Cambridge. Pionnier par ses recherches en théorie des nombres, il est un spécialiste reconnu des équations diophantiennes. Né dans une famille juive d'origine lituanienne émigrée aux États-Unis dans les années 1880, il est venu en 1906 à Cambridge passer l'examen d'entrée au St John's College, examen qu'il a réussi. L'envie d'entrer à Cambridge poursuivre des études de mathématiques date de la découverte d'un livre d'annales d'entrée à Cambridge parmi des livres d'occasion lus dans sa jeunesse.
Richard DedekindJulius Wilhelm Richard Dedekind (né le à Brunswick et mort le dans la même ville) est un mathématicien allemand et un proche disciple de Ernst Kummer en arithmétique. Pionnier de l'axiomatisation de l'arithmétique, il a proposé une définition axiomatique de l'ensemble des nombres entiers ainsi qu’une construction rigoureuse des nombres réels à partir des nombres rationnels (méthode des « coupures » de Dedekind).
Théorème de Faltingsvignette|Gerd Faltings. En théorie des nombres, le théorème de Faltings, précédemment connu sous le nom de conjecture de Mordell donne des résultats sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne. Il a été conjecturé par le mathématicien anglais Louis Mordell en 1922 et démontré par Gerd Faltings en 1983, soit environ soixante ans après que la conjecture fut posée. Soit l'équation définie de la manière suivante : avec P un polynôme à coefficients rationnels.
Ideal numberIn number theory an ideal number is an algebraic integer which represents an ideal in the ring of integers of a number field; the idea was developed by Ernst Kummer, and led to Richard Dedekind's definition of ideals for rings. An ideal in the ring of integers of an algebraic number field is principal if it consists of multiples of a single element of the ring, and nonprincipal otherwise. By the principal ideal theorem any nonprincipal ideal becomes principal when extended to an ideal of the Hilbert class field.
Théorème de modularitéLe théorème de modularité (auparavant appelé conjecture de Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama) énonce que, pour toute courbe elliptique sur Q, il existe une forme modulaire de poids 2 pour un Γ(N), ayant même fonction L que la courbe elliptique. Une grande partie de ce résultat, suffisante pour en déduire le dernier théorème de Fermat, a été démontrée par Andrew Wiles. S'inspirant de ses techniques, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor ont traité les cas restants en 1999.
Géométrie arithmétiquevignette|Exemples de figures géométriques: un cône et un cylindre. La géométrie arithmétique est une branche de la théorie des nombres, qui utilise des outils de géométrie algébrique pour s'attaquer à des problèmes arithmétiques. Quelques exemples de questions qui peuvent se poser : Si on sait trouver des racines d'une équation polynomiale dans toutes les complétions d'un corps de nombres, peut-on en déduire que cette équation a des racines sur ce corps ? On sait répondre à la question dans certains cas, on sait que la réponse est non dans d'autres cas, mais on pense (c'est une conjecture) connaître l'obstruction et donc savoir reconnaître quand cela fonctionne.
Claude-Gaspard Bachet de MéziriacClaude-Gaspard Bachet dit de Méziriac ( à Bourg-en-Bresse, États de Savoie - à Bourg-en-Bresse, France) est un mathématicien, poète et traducteur français. Nourri d'hébreu, de grec, de latin, d'italien et d'espagnol, Bachet fut membre, pendant un an, en 1601, de l'ordre des Jésuites. Il enseigna au collège jésuite de Milan avant de renoncer à prononcer ses vœux et de se consacrer à la traduction de poètes latins et de mathématiciens grecs.
Équation diophantiennevignette|Édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante. Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation polynomiale à une ou plusieurs inconnues dont les solutions sont cherchées parmi les nombres entiers, éventuellement rationnels, les coefficients étant eux-mêmes également entiers. La branche des mathématiques qui s'intéresse à la résolution de telles équations s'est appelée longtemps l'analyse indéterminée avant de se fondre dans l'arithmétique ou la théorie des nombres.
Triplet pythagoricienvignette|Animation illustrant le plus simple triplet pythagoricien : 32 + 42 = 52. En arithmétique, un triplet pythagoricien ou triplet de Pythagore est un triplet (a, b, c) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : . Le triplet pythagoricien le plus connu est (3, 4, 5). À tout triplet pythagoricien est associé un triangle de côtés entiers a, b, c, forcément rectangle d’hypoténuse c, ainsi qu'un rectangle de côtés entiers a, b, et de diagonale entière c.
