GéodésiqueEn géométrie, une géodésique est la généralisation d'une ligne droite du plan ou de l'espace euclidien, au cadre des surfaces, ou plus généralement des variétés ou des espaces métriques. Elles sont étroitement liées à la notion de plus court chemin relativement à un calcul de distance sur un tel espace. Ainsi, le plus court chemin (ou les plus courts chemins, s'il en existe plusieurs), entre deux points est toujours une géodésique. Mais plus précisément, on appelle géodésique une courbe qui, à l'échelle locale, relie les points en minimisant la distance.
Fibré cotangentEn géométrie différentielle, le fibré cotangent associé à une variété différentielle M est le fibré vectoriel T*M de son fibré tangent TM : en tout point m de M, l' est défini comme l'espace dual de l'espace tangent : Les sections lisses du fibré cotangent sont les 1-formes différentielles, l'une d'entre elles étant remarquable et appelée 1-forme tautologique (ou 1-forme de Poincaré, ou 1-forme de Liouville, ou 1-forme canonique, ou potentiel symplectique). Sa dérivée extérieure donne une 2-forme symplectique canonique.
Système dynamiqueEn mathématiques, en chimie ou en physique, un système dynamique est la donnée d’un système et d’une loi décrivant l'évolution de ce système. Ce peut être l'évolution d'une réaction chimique au cours du temps, le mouvement des planètes dans le système solaire (régi par la loi universelle de la gravitation de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un programme informatique. Formellement on distingue les systèmes dynamiques à temps discrets (comme un programme informatique) des systèmes dynamiques à temps continu (comme une réaction chimique).
Forme de LiouvilleEn géométrie différentielle, la forme de Liouville est une 1-forme différentielle naturelle sur le fibré cotangent d'une variété différentielle. Sa dérivée extérieure est une forme symplectique. Elle joue un rôle central en mécanique classique. L'étude de la géométrie du fibré cotangent revêt une importance significative en géométrie symplectique en raison, notamment, du théorème de Weinstein. Si M est une variété différentielle de dimension n, désigne l'espace total du fibré cotangent de M et peut être regardé comme une variété différentielle de dimension 2n.
Variété différentielleEn mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.
Champ (physique)En physique, un champ est la donnée, pour chaque point de l'espace-temps, de la valeur d'une grandeur physique. Cette grandeur physique peut être scalaire (température, pression...), vectorielle (vitesse des particules d'un fluide, champ électrique...) ou tensorielle (comme le tenseur de Ricci en relativité générale). Un exemple de champ scalaire est donné par la carte des températures d'un bulletin météorologique télévisé : la température atmosphérique prend, en chaque point, une valeur particulière.
SymplectomorphismeEn géométrie symplectique, un symplectomorphisme est un isomorphisme de variétés symplectiques. Soient et deux variétés symplectiques. Une application différentiable est appelée morphisme symplectique lorsque, pour tout , la différentielle est une isométrie linéaire entre espaces vectoriels symplectiques. Autrement dit : Si , comme est non dégénérée, les différentielles sont des isomorphismes linéaires, et de fait, par le théorème d'inversion locale, est un difféomorphisme local.
Calcul des variationsLe calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950.
Classical field theoryA classical field theory is a physical theory that predicts how one or more physical fields interact with matter through field equations, without considering effects of quantization; theories that incorporate quantum mechanics are called quantum field theories. In most contexts, 'classical field theory' is specifically intended to describe electromagnetism and gravitation, two of the fundamental forces of nature. A physical field can be thought of as the assignment of a physical quantity at each point of space and time.
Champ de vecteurs hamiltonienEn géométrie différentielle et plus précisément en géométrie symplectique, dans l'étude des variétés symplectiques et des variétés de Poisson, un champ de vecteurs hamiltonien est un champ de vecteurs associé à une fonction réelle différentiable appelée hamiltonien de manière semblable au champ de vecteurs gradient en géométrie riemannienne. Cependant, une des différences fondamentales est que le hamiltonien est constant le long de ses courbes intégrales. Le nom vient du mathématicien et physicien William Rowan Hamilton.
