Critère d'EulerEn mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, le critère d'Euler est un théorème utilisé en théorie des nombres pour déterminer si un entier donné est un résidu quadratique (autrement dit, un carré) modulo un nombre premier. Soient un nombre premier différent de 2 et un entier premier avec . Si est un résidu quadratique modulo , alors . Si n'est pas un résidu quadratique modulo alors . Ce qui se résume, en utilisant le symbole de Legendre, par : La preuve repose sur le petit théorème de Fermat et sur le fait que dans un anneau intègre, un polynôme n'a jamais plus de racines que son degré.
Quartic reciprocityQuartic or biquadratic reciprocity is a collection of theorems in elementary and algebraic number theory that state conditions under which the congruence x4 ≡ p (mod q) is solvable; the word "reciprocity" comes from the form of some of these theorems, in that they relate the solvability of the congruence x4 ≡ p (mod q) to that of x4 ≡ q (mod p). Euler made the first conjectures about biquadratic reciprocity. Gauss published two monographs on biquadratic reciprocity.
Symbole de Jacobivignette|Charles Jacobi, mathématicien à l'origine du symbole de Jacobi Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien prussien Charles Gustave Jacob Jacobi. C'est une généralisation du symbole de Legendre. Le symbole de Jacobi est défini pour tout entier relatif et tout entier naturel impair comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de : pour tout et tous nombres premiers impairs (non nécessairement distincts), Soient positifs impairs et entiers quelconques.
Théorème des deux carrés de Fermatthumb|Pierre de Fermat (1601-1665). En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique.
Lemme de Gauss (théorie des nombres)Le lemme de Gauss en théorie des nombres donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier soit un résidu quadratique modulo un nombre premier. Il a été introduit et démontré par Gauss dans ses preuves de la loi de réciprocité quadratique et est utilisé dans plusieurs des nombreuses preuves ultérieures de cette loi. Soient un nombre premier impair et un entier non divisible par . Alors où est le symbole de Legendre et est défini de la façon suivante : ou encore, de façon équivalente : La deuxième « loi complémentaire » de la loi de réciprocité quadratique se déduit du lemme de Gauss.
Carré (algèbre)En arithmétique et en algèbre, le carré est une opération consistant à multiplier un élément par lui-même. La notion s’applique d’abord aux nombres, et en particulier aux entiers naturels, pour lesquels le carré est figuré par une disposition en carré au sens géométrique du terme. Un nombre qui peut s’écrire comme le carré d’un entier est appelé carré parfait. Mais plus généralement, on parle du carré d’une fonction, d’une matrice, ou de tout type d’objet mathématique pour lequel il existe une opération notée multiplicativement, comme la composition des endomorphismes ou le produit cartésien.
Caractère de DirichletEn mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, un caractère de Dirichlet est une fonction particulière sur un ensemble de classes de congruences sur les entiers et à valeurs complexes. Elle a été utilisée par Dirichlet pour la démonstration de son théorème de la progression arithmétique. Dans cet article, n désigne un entier strictement positif et U le groupe des unités (Z/nZ) de l'anneau Z/nZ. Dans le corps C des nombres complexes, le conjugué d'un nombre c est noté .
Nombre de Fermatthumb|Le mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) étudia les propriétés des nombres portant maintenant son nom. Un nombre de Fermat est un nombre qui peut s'écrire sous la forme 22n + 1, avec n entier naturel. Le n-ième nombre de Fermat, 22n + 1, est noté Fn. Ces nombres doivent leur nom à Pierre de Fermat, qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F5 étant composé, de même que tous les suivants jusqu'à F32.
Racine primitive modulo nLes racines primitives modulo n sont un concept issu de l'arithmétique modulaire, dans la théorie des nombres. Ce sont (lorsqu'il en existe) les générateurs du groupe des inversibles de l'anneau Z/nZ. Si n est un entier strictement positif, les nombres premiers avec n, pris modulo n, forment un groupe pour la multiplication, noté (Z/nZ) ou Z. Ce groupe est cyclique si et seulement si n est égal à 4 ou p ou 2p pour un nombre premier p ≥ 3 et k ≥ 0. Un générateur de ce groupe cyclique est appelé une racine primitive modulo n, ou un élément primitif de Z.
Lemme de ZolotarevEn mathématiques, le lemme de Zolotarev est un résultat d'arithmétique modulaire équivalent au lemme de Gauss et introduit par Yegor Ivanovich Zolotarev en 1872 pour redémontrer la loi de réciprocité quadratique. Il énonce que pour tout nombre premier p > 2 et tout entier a non divisible par p, le symbole de Legendre (a/p) est égal à la signature de la permutation des classes résiduelles modulo p qui multiplie chaque élément par a. Soit α la classe modulo p de l'entier a.
