Espace vectoriel normé | EPFL Graph Search

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Un espace vectoriel normé (EVN) est un espace vectoriel muni d'une norme. Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est fondamentale en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces L. Norme (mathématiques) Soit K un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret (par exemple le corps des réels ou des complexes). S'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, la norme d'un élément x est notée ║x║. La boule unité (fermée) de E est l'ensemble des vecteurs de norme inférieure ou égale à 1. Le corps K (égal ici à R ou C), muni de sa valeur absolue, est un K-espace vectoriel normé. Pour tout ensemble non vide X et tout espace vectoriel normé E, l'espace ß(X, E) des applications bornées de X dans E, muni de la norme de la convergence uniformeest un espace vectoriel normé. Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé. Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt l(X). Si X est un segment de R ou plus généralement un compact de R, muni de la mesure de Lebesgue, ces espaces L induisent les normes usuelles sur les espaces de fonctions continues sur X. Sur l({1, ... , n}), on retrouve les normes usuelles sur Kn. Si 1 ≤ p < ∞, l'espace l(N), noté simplement l, est l'espace des suites p-sommables x = (x) d'éléments de K, muni de la norme l(X) est l'espace B(X, K) des fonctions bornées de X dans K (donc des suites bornées si X = N). Remarque. Dans ces exemples, il n'est pas trop difficile de vérifier que la norme 1 ou ∞ est bien une norme. Pour la norme 2, c'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour p quelconque, l'inégalité triangulaire, qui porte le nom d'inégalité de Minkowski, est plus cachée.

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Espace vectoriel

vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.

Espace vectoriel normé

Norme (mathématiques)

En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe. La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne.

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