Espace vectoriel normé

Un espace vectoriel normé (EVN) est un espace vectoriel muni d'une norme. Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est fondamentale en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces L. Norme (mathématiques) Soit K un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret (par exemple le corps des réels ou des complexes). S'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, la norme d'un élément x est notée ║x║. La boule unité (fermée) de E est l'ensemble des vecteurs de norme inférieure ou égale à 1. Le corps K (égal ici à R ou C), muni de sa valeur absolue, est un K-espace vectoriel normé. Pour tout ensemble non vide X et tout espace vectoriel normé E, l'espace ß(X, E) des applications bornées de X dans E, muni de la norme de la convergence uniformeest un espace vectoriel normé. Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé. Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt l(X). Si X est un segment de R ou plus généralement un compact de R, muni de la mesure de Lebesgue, ces espaces L induisent les normes usuelles sur les espaces de fonctions continues sur X. Sur l({1, ... , n}), on retrouve les normes usuelles sur Kn. Si 1 ≤ p < ∞, l'espace l(N), noté simplement l, est l'espace des suites p-sommables x = (x) d'éléments de K, muni de la norme l(X) est l'espace B(X, K) des fonctions bornées de X dans K (donc des suites bornées si X = N). Remarque. Dans ces exemples, il n'est pas trop difficile de vérifier que la norme 1 ou ∞ est bien une norme. Pour la norme 2, c'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour p quelconque, l'inégalité triangulaire, qui porte le nom d'inégalité de Minkowski, est plus cachée.