Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Espace vectoriel normé
Résumé
Un espace vectoriel normé (EVN) est un espace vectoriel muni d'une norme.
Cette structure mathématique développe des propriétés géométriques de distance compatible avec les opérations de l'algèbre linéaire. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion est fondamentale en analyse et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, avec l'utilisation d'espaces de Banach tels que les espaces L.
Norme (mathématiques)
Soit K un corps commutatif muni d'une valeur absolue, et non discret (par exemple le corps des réels ou des complexes).
S'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, la norme d'un élément x est notée ║x║.
La boule unité (fermée) de E est l'ensemble des vecteurs de norme inférieure ou égale à 1.
Le corps K (égal ici à R ou C), muni de sa valeur absolue, est un K-espace vectoriel normé.
Pour tout ensemble non vide X et tout espace vectoriel normé E, l'espace ß(X, E) des applications bornées de X dans E, muni de la norme de la convergence uniformeest un espace vectoriel normé.
Pour tout espace mesuré (X, Σ, μ) et pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L(μ) des fonctions mesurables de X dans K (prises à égalité près presque partout) et p-intégrables (ou bornées si p = ∞), muni de la norme p associée, est un espace vectoriel normé. Lorsque μ est la mesure de comptage, on le note plutôt l(X).
Si X est un segment de R ou plus généralement un compact de R, muni de la mesure de Lebesgue, ces espaces L induisent les normes usuelles sur les espaces de fonctions continues sur X.
Sur l({1, ... , n}), on retrouve les normes usuelles sur Kn.
Si 1 ≤ p < ∞, l'espace l(N), noté simplement l, est l'espace des suites p-sommables x = (x) d'éléments de K, muni de la norme
l(X) est l'espace B(X, K) des fonctions bornées de X dans K (donc des suites bornées si X = N).
Remarque. Dans ces exemples, il n'est pas trop difficile de vérifier que la norme 1 ou ∞ est
bien une norme. Pour la norme 2, c'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Pour p quelconque, l'inégalité triangulaire, qui porte le nom d'inégalité de Minkowski, est plus cachée.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.