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Concept
Application multilinéaire
Résumé
En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une application à plusieurs variables vectorielles et à valeurs vectorielles qui est linéaire en chaque variable. Une application multilinéaire à valeurs scalaires est appelée forme multilinéaire. Une application multilinéaire à deux variables vectorielles est dite bilinéaire.
Quelques exemples classiques :
le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique ;
le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique des colonnes (ou lignes) d'une matrice carrée.
L'étude systématique des applications multilinéaires permet d'obtenir une définition générale du déterminant, du produit extérieur et de nombreux autres outils ayant un contenu géométrique. La branche de l'algèbre correspondante est l'algèbre multilinéaire. Mais il y a également de très nombreuses applications dans le cadre des variétés, en topologie différentielle.
Soient un entier k > 0 et des espaces vectoriels sur un même corps K. Une application
est dite multilinéaire (ou plus précisément : k-linéaire) si elle est linéaire en chaque variable, c'est-à-dire si, pour des vecteurs et des scalaires a et b,
De façon informelle, on peut se représenter une application k-linéaire comme une application produit de k termes, avec une propriété de type distributivité.
L'ensemble des applications k-linéaires de dans F est un sous-espace vectoriel de l'espace FE1×...×En de toutes les applications de E1×...×En dans F. C'est donc un espace vectoriel, que l'on note , ou plus simplement lorsque . L'espace des formes k-linéaires sur E est noté .
Si k = 1, on retrouve l'espace des applications linéaires de E dans F. En revanche si k > 1, il ne faut pas confondre l'espace d'applications multilinéaires avec l'espace des applications linéaires sur l'espace vectoriel produit . Par exemple, de K×K dans K, la multiplication est bilinéaire mais pas linéaire, tandis que la projection est linéaire mais pas bilinéaire.
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