Stirling numbers of the first kindIn mathematics, especially in combinatorics, Stirling numbers of the first kind arise in the study of permutations. In particular, the Stirling numbers of the first kind count permutations according to their number of cycles (counting fixed points as cycles of length one). The Stirling numbers of the first and second kind can be understood as inverses of one another when viewed as triangular matrices. This article is devoted to specifics of Stirling numbers of the first kind.
Formule de FaulhaberEn mathématiques, la formule de Faulhaber, portant le nom du mathématicien allemand Johann Faulhaber, exprime la somme des puissances p-ième des n premiers entiers : par une fonction polynomiale de degré p + 1 en n, les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli : .Les coefficients qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (aussi notés ). Dans la convention la plus usuelle, les nombres de Bernoulli sont mais ici, une convention moins courante est adoptée, à savoir que le nombre est changé en .
Appell sequenceIn mathematics, an Appell sequence, named after Paul Émile Appell, is any polynomial sequence satisfying the identity and in which is a non-zero constant. Among the most notable Appell sequences besides the trivial example are the Hermite polynomials, the Bernoulli polynomials, and the Euler polynomials. Every Appell sequence is a Sheffer sequence, but most Sheffer sequences are not Appell sequences. Appell sequences have a probabilistic interpretation as systems of moments.
Fonction zêta de Hurwitzvignette|Fonction zêta de Hurwitz En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta. Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s) > 1 : Par prolongement analytique, s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1. est la fonction zêta de Riemann. où Γ désigne la fonction Gamma.
Stirling polynomialsIn mathematics, the Stirling polynomials are a family of polynomials that generalize important sequences of numbers appearing in combinatorics and analysis, which are closely related to the Stirling numbers, the Bernoulli numbers, and the generalized Bernoulli polynomials. There are multiple variants of the Stirling polynomial sequence considered below most notably including the Sheffer sequence form of the sequence, , defined characteristically through the special form of its exponential generating function, and the Stirling (convolution) polynomials, , which also satisfy a characteristic ordinary generating function and that are of use in generalizing the Stirling numbers (of both kinds) to arbitrary complex-valued inputs.
Suite de ShefferEn mathématiques, et plus précisément en analyse combinatoire, une suite de Sheffer, nommée d'après Isador M. Sheffer, est une suite de polynômes satisfaisant à des conditions permettant le calcul ombral. Soit p une suite de polynômes (de variable x) telle que deg(pn) = n. On définit un opérateur linéaire Q par : Q p(x) = np(x) ; la famille des p étant une base, ceci définit Q pour tous les polynômes.
Fonction polylogarithmeLa fonction polylogarithme (aussi connue sous le nom de fonction de Jonquière) est une fonction spéciale qui peut être définie pour tout s et z < 1 par : Le paramètre s et l'argument z sont pris sur l'ensemble C des nombres complexes. Les cas particuliers s = 2 et s = 3 sont appelés le polylogarithme d'ordre 2 ou dilogarithme et le polylogarithme d'ordre 3 ou trilogarithme respectivement. Le polylogarithme apparaît aussi dans la forme fermée de l'intégrale de la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Bose-Einstein et est quelquefois connue comme l'intégrale de Fermi-Dirac ou l'intégrale de Bose-Einstein.
Calcul ombralEn mathématiques, le calcul ombral est le nom d'un ensemble de techniques de calcul formel qui, avant les années 1970, était plutôt appelé calcul symbolique. Il s'agit de l'étude des similarités surprenantes entre certaines formules polynomiales a priori non reliées entre elles, et d'un ensemble de règles de manipulation (au demeurant assez peu claires) pouvant être utilisées pour les obtenir (mais non les démontrer).
Série génératriceEn mathématiques, et notamment en analyse et en combinatoire, une série génératrice (appelée autrefois fonction génératrice, terminologie encore utilisée en particulier dans le contexte de la théorie des probabilités) est une série formelle dont les coefficients codent une suite de nombres (ou plus généralement de polynômes) ; on dit que la série est associée à la suite. Ces séries furent introduites par Abraham de Moivre en 1730, pour obtenir des formules explicites pour des suites définies par récurrence linéaire.
Stirling numbers of the second kindIn mathematics, particularly in combinatorics, a Stirling number of the second kind (or Stirling partition number) is the number of ways to partition a set of n objects into k non-empty subsets and is denoted by or . Stirling numbers of the second kind occur in the field of mathematics called combinatorics and the study of partitions. They are named after James Stirling. The Stirling numbers of the first and second kind can be understood as inverses of one another when viewed as triangular matrices.
