Lemme de HenselEn mathématiques, le lemme de Hensel, est un résultat permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Il doit son nom au mathématicien du début du Kurt Hensel. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton. La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont Z (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets.
Neuvième problème de HilbertLe neuvième problème de Hilbert est l'un des vingt-trois problèmes ouverts proposés comme défis du par David Hilbert au second congrès international des mathématiciens en 1900. Il consiste à généraliser la loi de réciprocité quadratique à tout corps de nombres algébriques. Il a été partiellement résolu, pour le cas (galoisien) abélien, au cours de la première moitié du siècle dans le cadre de ce qui est aujourd'hui connu sous le nom de théorie du corps de classes.
Lemme de ZolotarevEn mathématiques, le lemme de Zolotarev est un résultat d'arithmétique modulaire équivalent au lemme de Gauss et introduit par Yegor Ivanovich Zolotarev en 1872 pour redémontrer la loi de réciprocité quadratique. Il énonce que pour tout nombre premier p > 2 et tout entier a non divisible par p, le symbole de Legendre (a/p) est égal à la signature de la permutation des classes résiduelles modulo p qui multiplie chaque élément par a. Soit α la classe modulo p de l'entier a.
Symbole de Kronecker (théorie des nombres)En théorie des nombres, le symbole de Kronecker, écrit comme ou , est une généralisation du symbole de Jacobi à tous les entiers . Il a été introduit par Leopold Kronecker en 1885. Soit être un entier non nul, factorisé comme où est une unité (c'est-à-dire ), et les sont premiers. Soit un entier. Le symbole Kronecker est défini par Pour impair, le nombre est tout simplement le symbole de Legendre habituel. On définit par Puisqu'il prolonge le symbole Jacobi, la quantité vaut simplement lorsque .
Non-abelian class field theoryIn mathematics, non-abelian class field theory is a catchphrase, meaning the extension of the results of class field theory, the relatively complete and classical set of results on abelian extensions of any number field K, to the general Galois extension L/K. While class field theory was essentially known by 1930, the corresponding non-abelian theory has never been formulated in a definitive and accepted sense. A presentation of class field theory in terms of group cohomology was carried out by Claude Chevalley, Emil Artin and others, mainly in the 1940s.
Théorème de la progression arithmétiqueEn mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de la progression arithmétique, s'énonce de la façon suivante : Ce théorème est une généralisation du théorème d'Euclide sur les nombres premiers. Sa première démonstration, due au mathématicien allemand Gustav Lejeune Dirichlet en 1838, fait appel aux résultats de l'arithmétique modulaire et à ceux de la théorie analytique des nombres. La première démonstration « élémentaire » est due à Atle Selberg en 1949.
Proofs of quadratic reciprocityIn number theory, the law of quadratic reciprocity, like the Pythagorean theorem, has lent itself to an unusually large number of proofs. Several hundred proofs of the law of quadratic reciprocity have been published. Of the elementary combinatorial proofs, there are two which apply types of double counting. One by Gotthold Eisenstein counts lattice points. Another applies Zolotarev's lemma to , expressed by the Chinese remainder theorem as and calculates the signature of a permutation.
Nombre de Mersenne premiervignette|droite|Le moine français Marin Mersenne (1588-1648) En mathématiques et plus précisément en arithmétique, un nombre de Mersenne est un nombre de la forme 2 − 1 (souvent noté ), où est un entier naturel non nul ; un nombre de Mersenne premier (ou nombre premier de Mersenne) est donc un nombre premier de cette forme. Ces nombres doivent leur nom au religieux érudit et mathématicien français du Marin Mersenne ; mais, près de auparavant, Euclide les utilisait déjà pour étudier les nombres parfaits.
Helmut HasseHelmut Hasse (1898-1979) est un mathématicien allemand. Il est un des plus grands algébristes allemands de son époque, connu notamment pour ses travaux sur la théorie des nombres. Hasse est le fils du juge Paul Reinhard Hasse et de Margaret Quentin, née à Milwaukee, mais élevée à Kassel. Il est scolarisé à Kassel et à Berlin-Wilmersdorf, après que sa famille ait déménagé à Berlin en 1913.
