Additive groupAn additive group is a group of which the group operation is to be thought of as addition in some sense. It is usually abelian, and typically written using the symbol + for its binary operation. This terminology is widely used with structures equipped with several operations for specifying the structure obtained by forgetting the other operations. Examples include the additive group of the integers, of a vector space and of a ring. This is particularly useful with rings and fields to distinguish the additive underlying group from the multiplicative group of the invertible elements.
Multiplicatively closed setIn abstract algebra, a multiplicatively closed set (or multiplicative set) is a subset S of a ring R such that the following two conditions hold: for all . In other words, S is closed under taking finite products, including the empty product 1. Equivalently, a multiplicative set is a submonoid of the multiplicative monoid of a ring. Multiplicative sets are important especially in commutative algebra, where they are used to build localizations of commutative rings. A subset S of a ring R is called saturated if it is closed under taking divisors: i.
Algebra homomorphismIn mathematics, an algebra homomorphism is a homomorphism between two algebras. More precisely, if A and B are algebras over a field (or a ring) K, it is a function such that, for all k in K and x, y in A, one has The first two conditions say that F is a K-linear map, and the last condition says that F preserves the algebra multiplication. So, if the algebras are associative, F is a rng homomorphism, and, if the algebras are rings and F preserves the identity, it is a ring homomorphism.
Inverse modulaireEn mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, l'inverse modulaire d'un entier relatif pour la multiplication modulo est un entier satisfaisant l'équation : En d'autres termes, il s'agit de l'inverse dans l'anneau des entiers modulo n, noté Z/nZ ou Z. Une fois ainsi défini, peut être noté , étant entendu implicitement que l'inversion est modulaire et se fait modulo . La définition est donc équivalente à : L'inverse de a modulo existe si et seulement si et sont premiers entre eux, (c.-à-d.
Nombre primaireEn mathématiques, plus précisément en arithmétique, un nombre primaire, également appelé puissance première, est une puissance à exposant entier positif non nul d'un nombre premier. Par exemple : 5=51, 9=32 et 16=24 sont des nombres primaires, alors que 6=2×3, 15=3×5 et 36=62=22×32 n'en sont pas. Les vingt plus petits nombres primaires sont : 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41. Les puissances premières sont tous les nombres entiers positifs qui ne sont divisibles que par un seul nombre premier.
Fundamental unit (number theory)In algebraic number theory, a fundamental unit is a generator (modulo the roots of unity) for the unit group of the ring of integers of a number field, when that group has rank 1 (i.e. when the unit group modulo its torsion subgroup is infinite cyclic). Dirichlet's unit theorem shows that the unit group has rank 1 exactly when the number field is a real quadratic field, a complex cubic field, or a totally imaginary quartic field. When the unit group has rank ≥ 1, a basis of it modulo its torsion is called a fundamental system of units.
Lemme de HenselEn mathématiques, le lemme de Hensel, est un résultat permettant de déduire l'existence d'une racine d'un polynôme à partir de l'existence d'une solution approchée. Il doit son nom au mathématicien du début du Kurt Hensel. Sa démonstration est analogue à celle de la méthode de Newton. La notion d'anneau hensélien regroupe les anneaux dans lesquels le lemme de Hensel s'applique. Les exemples les plus usuels sont Z (l'anneau des entiers p-adiques, pour p un nombre premier) et k[[t]] (l'anneau des séries formelles sur un corps k) ou plus généralement, les anneaux de valuation discrète complets.
Fonction zêta de DedekindEn mathématiques, la fonction zêta de Dedekind est une série de Dirichlet définie pour tout corps de nombres K. C'est la fonction de la variable complexe s définie par la somme infinie : prise sur tous les idéaux I non nuls de l'anneau O des entiers de K, où N(I) désigne la norme de I (relative au corps Q des rationnels). Cette norme est égale au cardinal de l'anneau quotient O/I. En particulier, ζ est la fonction zêta de Riemann. Les propriétés de la fonction méromorphe ζ ont une signification considérable en théorie algébrique des nombres.
