Quotient de Rayleigh

En mathématiques, pour une matrice hermitienne A et un vecteur x non nul, le quotient de Rayleigh est l’expression scalaire définie par où x désigne le vecteur adjoint de x. Pour une matrice symétrique à coefficients réels, le vecteur x est simplement son transposé x. Dans les deux cas, le quotient de Rayleigh fournit une valeur réelle qui renseigne sur le spectre de la matrice par les deux propriétés fondamentales suivantes : il atteint un point critique (extremum ou point-selle) au voisinage des vecteurs propres de la matrice ; appliqué à un vecteur propre, le quotient de Rayleigh fournit la valeur propre correspondante. Ces deux propriétés peuvent être exploitées pour déterminer numériquement les valeurs, vecteurs et espaces propres d'un opérateur hermitien ou symétrique. Le quotient de Rayleigh, dont la propriété d'extremum peut être reliée au principe du minimum de l'énergie potentielle en mécanique, a été étudié pour la première fois par Rayleigh (1877). Walter Ritz reprit l'idée en 1909 pour en faire la base d’une méthode d’approximation variationnelle. Partant d'une matrice symétrique respectivement hermitienne (dont les valeurs propres sont réelles), le quotient de Rayleigh satisfait les propriétés suivantes : C’est une fonction homogène de degré 1 puisque R(A,cx)=R(A,x) pour tout scalaire c. Pour tout x non nul, où et sont les valeurs propres extrêmes de A. Une égalité est atteinte si et seulement si x est vecteur propre pour la valeur propre extrême correspondante. Si x est un vecteur propre à valeur propre non extrême, alors R(A,x) présente un point-selle dans le voisinage de x. Combiné au théorème min-max de Courant-Fischer, le quotient de Rayleigh permet de déterminer une à une toutes les valeurs propres d'une matrice. On peut également l'employer pour calculer une valeur approchée d'une valeur propre à partir d'une approximation d'un vecteur propre. Ces idées forment d'ailleurs la base de l’algorithme d’itération de Rayleigh.