Résumé
L'espace tangent en un point p d'une variété différentielle M est un espace vectoriel qui intuitivement est l'ensemble de tous les vecteurs-vitesse possibles d'un « mobile » se déplaçant (sans pouvoir la quitter) dans la variété M quand il est en p. Une façon commune en physique de décrire l'espace tangent est de dire que les vecteurs qu'il contient représentent les différences entre ce point et des points de la variété infiniment proches du premier. Cette façon d'interpréter l'espace tangent revient à considérer que la variété a localement une structure proche de celle d'un espace affine. Lorsque la variété est plongée dans R, l'espace tangent en un point p est simplement l'ensemble des vecteurs tangents en p aux courbes (de classe C) tracées sur la variété et contenant p. Supposons que M est une variété différentielle de dimension n et de classe C et que p est un point de M. Soit (U, φ) une carte locale de M en p. Deux courbes γ, γ : ]–1, 1[ → M, telles que φ∘γ et φ∘γ soient différentiables en 0, sont dites mutuellement tangentes en p si γ(0) = γ(0) = p et (φ∘γ)'(0) = (φ∘γ)'(0). Cette notion ne dépend pas de la carte choisie. On peut vérifier que la relation ainsi définie est une relation d'équivalence. Une classe d'équivalence V est appelée vecteur tangent à M en p. Dans la carte précédente, le vecteur V est représenté par le vecteur de égal à (φ∘γ)'(0), où γ est une courbe quelconque élément de la classe d'équivalence. L'ensemble des classes est l'espace tangent en p à M, noté TM. La fonction γ ↦ (φ∘γ)'(0) induit par passage au quotient une bijection de TM dans R qui fait de l'espace tangent un espace vectoriel. La formule du changement de cartes montre que la structure vectorielle ne dépend pas de la carte locale choisie. Avec les notations précédentes, soit f une fonction de M à valeurs réelles, de classe . Si on dispose d'une carte locale (U, φ) en p telle que (par exemple), φ(p) = 0, alors la fonction est une fonction de classe , définie dans un voisinage de contenant 0 et à valeurs réelles.
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