Ensemble transitifEn mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble transitif est un ensemble dont tous les éléments sont aussi des parties de l'ensemble. Un ensemble X est dit transitif si tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X c'est-à-dire si tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) : ∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X) ce qui revient à (en notant ∪X l'union des éléments de X) : ∪X ⊂ X.
Cardinal régulierEn théorie des ensembles, un cardinal infini est dit régulier s'il est égal à sa cofinalité. Intuitivement, un cardinal est régulier si toute réunion indexée par un ensemble petit d'ensembles petits est petite, où un ensemble est dit petit s'il est de cardinalité strictement inférieure à . Une autre définition possible équivalente est que est régulier si pour tout cardinal , toute fonction est bornée. Un cardinal qui n'est pas régulier est dit singulier.
Univers de GrothendieckEn mathématiques, un univers de Grothendieck est un ensemble U ayant les propriétés suivantes : si x appartient à U et si y appartient à x, alors y appartient à U (on dit que U est un ensemble transitif) ; si x et y appartiennent à U alors {x, y} aussi ; si x appartient à U, alors l'ensemble P(x) des parties de x aussi ; si (x) est une famille d'éléments de U et si I appartient à U, alors l'union ⋃ x appartient à U. Alexandre Grothendieck a introduit et utilisé cette idée pour éviter les classes propres en géométrie algébrique.
ÉquipotenceEn mathématiques, l’équipotence est une relation entre ensembles, selon laquelle deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cette notion permet de définir la cardinalité, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, qu'il soit fini ou infini. La subpotence est une relation plus faible, satisfaite lorsqu'il existe une injection entre deux ensembles. Elle permet de définir une comparaison de taille entre les ensembles, sans présupposer la construction des nombres cardinaux.
Cardinal limiteEn mathématiques et en particulier en théorie des ensembles, un cardinal limite est un type particulier de nombre cardinal. Il en existe deux définitions, une "faible" et l'autre "forte", qu'il faut distinguer selon le contexte. Un nombre cardinal est un cardinal faiblement limite si ce n'est ni 0, ni un cardinal successeur. Ceci signifie qu'on ne peut pas "accéder" à par une opération de succession sur les cardinaux, c'est-à-dire que ne s'écrit pas sous la forme .
Univers de von NeumannEn théorie des ensembles, une des branches des mathématiques, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V d'ensembles « héréditaires », tels que la relation d'appartenance sur ces ensembles soit bien fondée. Cette classe, qui est formalisée par la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), est souvent utilisée pour fournir une interprétation ou une motivation des axiomes de ZFC. Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930.
Schéma d'axiomes de remplacementLe schéma d'axiomes de remplacement, ou schéma d'axiomes de substitution, est un schéma d'axiomes de la théorie des ensembles introduit en 1922 indépendamment par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem. Il assure l'existence d'ensembles qui ne pouvaient être obtenus dans la théorie des ensembles de Ernst Zermelo, et offre ainsi un cadre axiomatique plus fidèle à la théorie des ensembles de Georg Cantor. En ajoutant à la théorie de Zermelo le schéma d'axiomes de remplacement, on obtient la théorie de Zermelo-Fraenkel, notée ZFC ou ZF suivant que l'on comprend ou non l'axiome du choix.
Hyperarithmetical theoryIn recursion theory, hyperarithmetic theory is a generalization of Turing computability. It has close connections with definability in second-order arithmetic and with weak systems of set theory such as Kripke–Platek set theory. It is an important tool in effective descriptive set theory. The central focus of hyperarithmetic theory is the sets of natural numbers known as hyperarithmetic sets. There are three equivalent ways of defining this class of sets; the study of the relationships between these different definitions is one motivation for the study of hyperarithmetical theory.
Bounded quantifierIn the study of formal theories in mathematical logic, bounded quantifiers (a.k.a. restricted quantifiers) are often included in a formal language in addition to the standard quantifiers "∀" and "∃". Bounded quantifiers differ from "∀" and "∃" in that bounded quantifiers restrict the range of the quantified variable. The study of bounded quantifiers is motivated by the fact that determining whether a sentence with only bounded quantifiers is true is often not as difficult as determining whether an arbitrary sentence is true.
Équivalence élémentaireEn mathématiques, et plus spécifiquement en théorie des modèles, on dit que deux structures pour un même langage formel sont élémentairement équivalentes quand elles satisfont les mêmes énoncés (formules closes) de la logique du premier ordre, dit autrement leurs théories (du premier ordre) sont les mêmes. L'équivalence élémentaire est une notion typiquement logique en ce qu'elle fait intervenir le langage pour définir une relation entre structures. Elle diffère de la notion algébrique d'isomorphisme.
