Concept
Valuation
Concepts associés (16)
Corps de nombres
En mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
Anneau de valuation discrète
En mathématiques, plus précisément en algèbre commutative, un anneau de valuation discrète est un anneau de valuation dont la valuation est discrète mais non triviale. Un anneau est de valuation discrète lorsqu'il est principal, qu'il ne possède qu'un idéal maximal, et que cet idéal est non nul. Cette notion est utilisée en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique ; elle constitue un outil d'étude des anneaux noethériens, en particulier les anneaux de Dedekind.
Absolute value (algebra)
In algebra, an absolute value (also called a valuation, magnitude, or norm, although "norm" usually refers to a specific kind of absolute value on a field) is a function which measures the "size" of elements in a field or integral domain. More precisely, if D is an integral domain, then an absolute value is any mapping |x| from D to the real numbers R satisfying: It follows from these axioms that |1| = 1 and |-1| = 1. Furthermore, for every positive integer n, |n| = |1 + 1 + ... + 1 (n times)| = |−1 − 1 − .
P-adic valuation
In number theory, the p-adic valuation or p-adic order of an integer n is the exponent of the highest power of the prime number p that divides n. It is denoted . Equivalently, is the exponent to which appears in the prime factorization of . The p-adic valuation is a valuation and gives rise to an analogue of the usual absolute value. Whereas the completion of the rational numbers with respect to the usual absolute value results in the real numbers , the completion of the rational numbers with respect to the -adic absolute value results in the p-adic numbers .
Théorème d'Ostrowski
En mathématiques, le théorème d'Ostrowski est un théorème de théorie des nombres démontré en 1916 par Alexander Ostrowski, d'après lequel toute valeur absolue non triviale sur le corps Q des rationnels est équivalente soit à la valeur absolue usuelle, soit à l'une des valeurs absolues p-adiques. Plus précisément et plus généralement, le théorème d'Ostrowski énonce que les seules valeurs absolues non ultramétriques sur un corps K sont (s'il en existe) les applications de la forme x ↦ |f(x)|, où f est un plongement de K dans le corps des complexes, et 0 < c ≤ 1.
Nombre p-adique
vignette|Les entiers 3-adiques, avec des représentations obtenues par dualité de Pontriaguine. En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier fixé, les nombres p-adiques forment une extension particulière du corps des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Le corps commutatif des nombres -adiques peut être construit par complétion de , d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue -adique.
Série de Hahn
En mathématiques, une série de Hahn (parfois appelée série de Hahn–Maltsev–Neumann) est une série formelle généralisant la notion de série de Puiseux ; les séries de Hahn acceptent des exposants arbitraires de l'indéterminée, tant que l'ensemble de ces exposants est un sous-ensemble bien ordonné du groupe (valué) de ces exposants (typiquement ou ). Ces séries furent introduites par Hans Hahn en 1907 dans la démonstration de son , puis étudiées par lui en tant que corps dans son approche du dix-septième problème de Hilbert ; vers 1950, elles furent généralisées encore par Anatoli Maltsev et Bernhard Neumann au cas non commutatif.
Valuation ring
In abstract algebra, a valuation ring is an integral domain D such that for every element x of its field of fractions F, at least one of x or x−1 belongs to D. Given a field F, if D is a subring of F such that either x or x−1 belongs to D for every nonzero x in F, then D is said to be a valuation ring for the field F or a place of F. Since F in this case is indeed the field of fractions of D, a valuation ring for a field is a valuation ring.
Anneau euclidien
vignette|Statue d'Euclide à Oxford. En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif intègre (voir aussi l'article anneau euclidien non commutatif). Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne. Un anneau euclidien est toujours principal. Cette propriété est riche de conséquences : tout anneau principal vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique.
Série de Puiseux
En mathématiques, les séries de Puiseux sont une généralisation des séries formelles, introduites pour la première fois par Isaac Newton en 1676 et redécouvertes par Victor Puiseux en 1850, qui permet à l'exposant de l'indéterminée d'être négatif ou fractionnel (tout en étant, pour une série donnée, borné inférieurement et de dénominateur borné). Une série de Puiseux d'indéterminée T est une série formelle de Laurent en T (où n est un entier strictement positif) ; elle peut donc s'écrire : avec k entier relatif.