Submersion (mathématiques)

In mathematics, a submersion is a differentiable map between differentiable manifolds whose differential is everywhere surjective. This is a basic concept in differential topology. The notion of a submersion is dual to the notion of an immersion. Let M and N be differentiable manifolds and be a differentiable map between them. The map f is a submersion at a point if its differential is a surjective linear map. In this case p is called a regular point of the map f, otherwise, p is a critical point. A point is a regular value of f if all points p in the are regular points. A differentiable map f that is a submersion at each point is called a submersion. Equivalently, f is a submersion if its differential has constant rank equal to the dimension of N. A word of warning: some authors use the term critical point to describe a point where the rank of the Jacobian matrix of f at p is not maximal. Indeed, this is the more useful notion in singularity theory. If the dimension of M is greater than or equal to the dimension of N then these two notions of critical point coincide. But if the dimension of M is less than the dimension of N, all points are critical according to the definition above (the differential cannot be surjective) but the rank of the Jacobian may still be maximal (if it is equal to dim M). The definition given above is the more commonly used; e.g., in the formulation of Sard's theorem. Given a submersion between smooth manifolds of dimensions and , for each there are surjective charts of around , and of around , such that restricts to a submersion which, when expressed in coordinates as , becomes an ordinary orthogonal projection. As an application, for each the corresponding fiber of , denoted can be equipped with the structure of a smooth submanifold of whose dimension is equal to the difference of the dimensions of and . The theorem is a consequence of the inverse function theorem (see Inverse function theorem#Giving a manifold structure). For example, consider given by The Jacobian matrix is This has maximal rank at every point except for .

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Variété différentielle

En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.

Submersion (mathématiques)

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MATH-322: Introduction to differentiable manifolds

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MATH-422: Introduction to riemannian geometry

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MATH-410: Riemann surfaces

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Algèbre linéaire de base MATH-213: Differential geometry

Couvre les bases de l'algèbre linéaire, y compris le rang, les applications différenciables et les submersions.

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Vecteurs Tangent sans espace d'intégration : rendre les espaces tangents linéaires MATH-512: Optimization on manifolds MOOC: Introduction to optimization on smooth manifolds: first order methods

Explore la linéarité des espaces tangents, la définition des vecteurs tangents sans un espace d'intégration et leurs opérations, ainsi que l'équivalence des différentes notions d'espace tangents.