Algèbre de Boole (structure)vignette|Exemple d'algèbre de Boole : l'ensemble des parties de l'ensemble {x, y, z} illustré par son diagramme de Hasse. En mathématiques, une algèbre de Boole, ou parfois anneau de Boole, est une structure algébrique étudiée en particulier en logique mathématique. Une algèbre de Boole peut être définie soit comme une structure ordonnée particulière, soit comme une structure algébrique particulière, soit comme un anneau (unitaire) dont tout élément égale son carré.
Relation réflexiveEn mathématiques, une relation binaire peut avoir, entre autres propriétés, la réflexivité ou bien l'antiréflexivité (ou irréflexivité). Une relation R sur un ensemble X est dite : réflexive si tout élément de X est R-relié à lui-même :ou encore, si le graphe de R contient la diagonale de X (qui est le graphe de l'égalité) ; antiréflexive (ou irréflexive) si aucun élément de X n'est R-relié à lui-même :ou encore, si son graphe est disjoint de la diagonale de X.
Égalité (mathématiques)vignette|"Signe égal" exprimant l'égalité entre deux expressions. En mathématiques, l’égalité est une relation binaire entre deux objets signifiant que ces objets sont identiques, c’est-à-dire que le remplacement de l’un par l’autre dans une expression ne change jamais la valeur de cette dernière. Une égalité est une proposition pouvant s’écrire à l’aide du signe égal « = », séparant deux expressions mathématiques de même nature (nombres, vecteurs, fonctions, ensembles...) ; la négation de cette proposition s’écrit à l’aide du symbole « ≠ ».
Relation asymétriqueEn mathématiques, une relation (binaire, interne) R est dite asymétrique si elle vérifie : ou encore, si son graphe est disjoint de celui de sa relation réciproque. L'asymétrie est parfois appelée « antisymétrie forte », par opposition à l'antisymétrie (usuelle, ou « faible »). En effet, une relation est asymétrique si et seulement si elle est à la fois antisymétrique et antiréflexive. les relations d'ordre strict, qui sont les relations transitives et asymétriques ; dans les entiers, la relation "est le successeur de" ; dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » : personne n'est enfant d'un de ses enfants.
Relation (mathematics)In mathematics, a binary relation on a set may, or may not, hold between two given set members. For example, "is less than" is a relation on the set of natural numbers; it holds e.g. between 1 and 3 (denoted as 1
Complémentaire (théorie des ensembles)En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, le complémentaire d'une partie d'un ensemble est constitué de tous les éléments de n'appartenant pas à . Le complémentaire de est . En cas de risque de confusion, si l'on veut préciser que l'on parle du complémentaire de dans , on note . Si est différent de l'ensemble vide et de , alors et forment une partition de l'ensemble . Lorsque est un ensemble fini, la somme des cardinaux de et est égale au cardinal de : D'où on déduit : Exemple Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents.
Connected relationIn mathematics, a relation on a set is called connected or complete or total if it relates (or "compares") all pairs of elements of the set in one direction or the other while it is called strongly connected if it relates pairs of elements. As described in the terminology section below, the terminology for these properties is not uniform. This notion of "total" should not be confused with that of a total relation in the sense that for all there is a so that (see serial relation).
Bijection réciproqueEn mathématiques, la bijection réciproque (ou fonction réciproque ou réciproque) d'une bijection est l'application qui associe à chaque élément de l'ensemble d'arrivée son unique antécédent par . Elle se note . On considère l'application de vers définie par . Pour chaque réel y, il y a un et un seul réel x tel que , ainsi pour = 8, le seul convenable est 2, en revanche, pour = –27 c'est –3. En termes mathématiques, on dit que est l'unique antécédent de et que est une bijection.
Involution (mathématiques)En mathématiques, une involution est une application bijective qui est sa propre réciproque, c'est-à-dire par laquelle chaque élément est l'image de son image. C'est le cas par exemple du changement de signe dans l'ensemble des nombres réels, ou des symétries du plan ou de l'espace en géométrie euclidienne. En algèbre linéaire, les endomorphismes involutifs sont d'ailleurs appelés symétries. Des involutions apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en combinatoire et en topologie.
Relation symétriqueEn mathématiques, une relation (binaire, interne) R est dite symétrique si elle vérifie : ou encore, si elle est égale à sa relation réciproque. Exemples : les relations d'équivalence sont les préordres symétriques ; sur l'ensemble des entiers, la relation « forme un produit pair avec » est symétrique, car la multiplication des entiers est commutative. La clôture symétrique d'une relation R est la relation (sur le même ensemble) dont le graphe est l'union de ceux de R et de sa réciproque.
