N-sphère

En géométrie, la sphère de dimension n, l'hypersphère ou n-sphère est une généralisation de la sphère à un espace euclidien de dimension quelconque. L'hypersphère constitue un des exemples les plus simples de variété, elle est plus précisément une hypersurface de l'espace euclidien , notée en général . Soient E un espace euclidien de dimension n + 1, A un point de E, et R un nombre réel strictement positif. On appelle hypersphère de centre A et de rayon R l'ensemble des points M dont la distance à A vaut R. Étant donné un repère affine orthonormé, quitte à effectuer une translation, ce qui ne change rien aux propriétés géométriques, il est possible de se ramener à une hypersphère centrée en l'origine, dont l'équation s'écrit alors Par exemple : pour le cas n = 0, l'hypersphère est constituée de deux points d'abscisses respectives R et –R ; pour le cas n = 1, l'hypersphère est un cercle ; pour le cas n = 2, l'hypersphère est une sphère au sens usuel. (Pour un paramétrage de l'hypersurface ainsi définie, voir « Coordonnées hypersphériques ».) Calcul du volume de l'hypersphère Le volume (ou, plus précisément, la mesure de Lebesgue) de l'espace délimité par une hypersphère de dimension n – 1 et de rayon R, qui est une boule euclidienne de dimension n, vaut : où désigne la fonction gamma. En particulier, on a : Le tableau suivant donne les valeurs du volume des 8 premières boules de dimension n et de rayon 1 : Le volume d'une telle boule est maximal pour n = 5. Pour n > 5, le volume est décroissant quand n augmente et sa limite à l'infini est nulle : L'hypercube circonscrit à l'hypersphère unité possède des arêtes de longueur 2 et un volume 2n ; le rapport entre les volumes d'une boule et de l'hypercube inscrit (de côté ) est croissant en fonction de n. L'aire de l'hypersphère de dimension n−1 et de rayon R peut être déterminée en prenant la dérivée par rapport au rayon R du volume Vn : La n-sphère unité a donc pour aire : Le tableau suivant donne les valeurs de l'aire des 7 premières n-sphères de rayon 1 : L'aire de la n-sphère unité est maximale pour n = 6.