Espace tangent (géométrie algébrique)

En géométrie algébrique, on peut définir la notion d'espace tangent (de Zariski) sans faire (explicitement) de calcul différentiel. C'est en quelque sorte une première approximation de la structure locale du schéma. Soit A un anneau local d'idéal maximal M. Soit le corps résiduel de A. Pour a ∈ A et m, m ∈ M, on remarque que avec M2 le produit d'idéal de M par lui-même. Ainsi le quotient de A-modules est un -espace vectoriel ; on l'appelle espace cotangent et son dual espace tangent de Zariski de . Notons-le . On a l'isomorphisme suivant : avec le produit tensoriel de A-modules. Ces espaces vectoriels sont de dimension finie si A est noethérien car M est alors un module de type fini. Si est un homomorphisme d'anneaux locaux noethériens, on a canoniquement une application -linéaire . On sait que la dimension de l'espace tangent d'un anneau local noethérien est toujours minorée par la dimension de Krull de . Par définition, l'anneau local est dit régulier s'il y a égalité. Soit un point d'un schéma . Soient l'idéal maximal de l'anneau local de en . Rappelons que le corps est le corps résiduel en . L'espace tangent de Zariski de en est par définition l'espace tangent de l'anneau local . On le note . La construction des espaces tangents est fonctorielle pour les schémas noethériens. Si est un morphisme de schémas noethériens, alors induit canoniquement une application linéaire , où . Cette application est l'application tangente de en , que l'on note parfois. Lorsque (par exemple si sont des variétés algébriques sur un corps et si est un point rationnel de ), c'est une application . Exemples L'espace tangent de l'espace affine sur un corps en un point rationnel est de dimension . Supposons k algébriquement clos pour simplifier. Soit . Alors l'espace tangent de au point est un k-espace vectoriel de dimension 2. Il est de dimension 1 aux autres points fermés, de dimension 0 au point générique. Pour tout schéma localement noethérien et pour tout point de , on a La dimension de gauche étant la dimension de Krull de l'anneau local , celle de droite étant la dimension vectorielle.