Algèbre généraleL'algèbre générale, ou algèbre abstraite, est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques et de leurs relations. L'appellation algèbre générale s'oppose à celle d'algèbre élémentaire ; cette dernière enseigne le calcul algébrique, c'est-à-dire les règles de manipulation des formules et des expressions algébriques. Historiquement, les structures algébriques sont apparues dans différents domaines des mathématiques, et n'y ont pas été étudiées séparément.
Divisionvignette|Division en tant que partage. Illustration de 20÷4 : partage d'un ensemble de 20 pommes en 4 parts égales. La division est une opération mathématique qui, à deux nombres a et b, associe un troisième nombre (loi de composition interne), appelé quotient ou rapport, et qui peut être notée : a : b ; a ÷ b (obélus) ; a / b (barre oblique, fraction en ligne) ; (fraction). Dans une première approche, on peut voir la quantité a÷b comme une séparation de la quantité a en b parts égales.
Non-associative algebraA non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation.
Algèbre géométrique (structure)Une algèbre géométrique est, en mathématiques, une structure algébrique, similaire à une algèbre de Clifford réelle, mais dotée d'une interprétation géométrique mise au point par David Hestenes, reprenant les travaux de Hermann Grassmann et William Kingdon Clifford (le terme est aussi utilisé dans un sens plus général pour décrire l'étude et l'application de ces algèbres : l'algèbre géométrique est l'étude des algèbres géométriques).
Corps gaucheEn mathématiques, un corps gauche ou anneau à division (parfois simplement appelé corps, voir plus bas) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles certains types d'additions, de soustractions, de multiplications et de divisions. Plus précisément, un corps gauche est un anneau dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication. Un corps gauche dont la multiplication est commutative est appelé « corps commutatif ».
Algèbre de compositionEn mathématiques, les algèbres de composition sur un corps commutatif sont des structures algébriques qui généralisent simultanément le corps des nombres complexes, le corps non commutatif des quaternions de Hamilton et l'algèbre des octonions de Cayley. Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque), et les algèbres ne sont pas supposées être associatives ni – a priori du moins – de dimension finie.
Algèbre de CliffordEn mathématiques, l'algèbre de Clifford est un objet d'algèbre multilinéaire associé à une forme quadratique. C'est une algèbre associative sur un corps, permettant un type de calcul étendu, englobant les vecteurs, les scalaires et des « multivecteurs » obtenus par produits de vecteurs, et avec une règle de calcul qui traduit la géométrie de la forme quadratique sous-jacente. Le nom de cette structure est un hommage au mathématicien anglais William Kingdon Clifford.
Boucle de MoufangEn mathématiques, une boucle de Moufang est un type particulier de structure algébrique. Elle ressemble à un groupe à de nombreux égards mais n'est pas nécessairement associative. Les boucles de Moufang ont été introduites par la mathématicienne allemande Ruth Moufang en 1935. À une boucle de Moufang lisses, on peut associer une algèbre, son , un peu comme on associe une algèbre de Lie à un groupe de Lie.
Octonion déployéEn mathématiques, les octonions déployés ou octonions fendus sont une extension non associative des quaternions (ou des coquaternions). Ils diffèrent des octonions par la signature de la forme quadratique : les octonions déployés ont une signature mixte (4,4) alors que les octonions ont une signature définie positive (8,0). Les octonions et les octonions déployés peuvent être obtenus par la construction de Cayley–Dickson en définissant une multiplication sur les paires de quaternions.
Algèbre d'AlbertEn mathématiques, une algèbre d'Albert est une algèbre de Jordan exceptionnelle de dimension 27. Elle porte le nom d'A. Adrian Albert, pionnier de l'étude des algèbres non associatives, qui travaillait le plus souvent sur le corps des nombres réels. Sur les nombres réels, il existe trois telles algèbres de Jordan à isomorphisme près. L'une d'elles, mentionnée pour la première fois par Pascual Jordan, John von Neumann et Eugene Wigner et étudiée par A.
