Variété riemannienneEn mathématiques, et plus précisément en géométrie, la variété riemannienne est l'objet de base étudié en géométrie riemannienne. Il s'agit d'une variété, c'est-à-dire un espace courbe généralisant les courbes (de dimension 1) ou les surfaces (de dimension 2) à une dimension n quelconque, et sur laquelle il est possible d'effectuer des calculs de longueur. En termes techniques, une variété riemannienne est une variété différentielle munie d'une structure supplémentaire appelée métrique riemannienne permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs tangents à la variété en un même point.
Fonction (mathématiques)vignette|Diagramme de calcul pour la fonction En mathématiques, une fonction permet de définir un résultat (le plus souvent numérique) pour chaque valeur d’un ensemble appelé domaine. Ce résultat peut être obtenu par une suite de calculs arithmétiques ou par une liste de valeurs, notamment dans le cas de relevé de mesures physiques, ou encore par d’autres procédés comme les résolutions d’équations ou les passages à la limite. Le calcul effectif du résultat ou son approximation repose éventuellement sur l’élaboration de fonction informatique.
Fibré tangentEn mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, soit : où est l'espace tangent de M en x. Un élément de TM est donc un couple (x, v) constitué d'un point x de M et d'un vecteur v tangent à M en x. Le fibré tangent peut être muni d'une topologie découlant naturellement de celle de M.
Dérivée extérieureEn mathématiques, la dérivée extérieure, opérateur de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle, étend le concept de la différentielle d'une fonction aux formes différentielles de degré quelconque. Elle permet de définir les formes différentielles fermées et exactes. Elle est importante dans la théorie de l'intégration sur les variétés, et elle est la différentielle employée pour définir la cohomologie de De Rham et celle d'Alexander-Spanier. Sa forme actuelle fut inventée par Élie Cartan.
Intégrale curviligneEn géométrie différentielle, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe Γ. Il y a deux types d'intégrales curvilignes, selon que la fonction est à valeurs réelles ou à valeurs dans les formes linéaires. Le second type (qui peut se reformuler en termes de circulation d'un champ de vecteurs) a comme cas particulier les intégrales que l'on considère en analyse complexe. Dans cet article, Γ est un arc orienté dans R, rectifiable c'est-à-dire paramétré par une fonction continue à variation bornée t ↦ γ(t), avec t ∈ [a, b].
Espace tangentL'espace tangent en un point p d'une variété différentielle M est un espace vectoriel qui intuitivement est l'ensemble de tous les vecteurs-vitesse possibles d'un « mobile » se déplaçant (sans pouvoir la quitter) dans la variété M quand il est en p. Une façon commune en physique de décrire l'espace tangent est de dire que les vecteurs qu'il contient représentent les différences entre ce point et des points de la variété infiniment proches du premier.
Pushforward (differential)In differential geometry, pushforward is a linear approximation of smooth maps on tangent spaces. Suppose that is a smooth map between smooth manifolds; then the differential of at a point , denoted , is, in some sense, the best linear approximation of near . It can be viewed as a generalization of the total derivative of ordinary calculus. Explicitly, the differential is a linear map from the tangent space of at to the tangent space of at , . Hence it can be used to push tangent vectors on forward to tangent vectors on .
Fonction à valeurs vectoriellesEn mathématiques, une fonction à valeurs vectorielles ou fonction vectorielle est une fonction dont l'espace d'arrivée est un ensemble de vecteurs, son ensemble de définition pouvant être un ensemble de scalaires ou de vecteurs. Courbe paramétrée Un exemple classique de fonctions vectorielles est celui des courbes paramétrées, c'est-à-dire des fonctions d'une variable réelle (représentant par exemple le temps dans les applications en mécanique du point) à valeurs dans un espace euclidien, par exemple le plan usuel (on parle alors de courbes planes) ou l'espace usuel (on parle alors de courbes gauches).
Dérivation (algèbre)En algèbre, le terme dérivation est employé dans divers contextes pour désigner une application vérifiant l'identité de Leibniz. Selon le contexte, il peut s'agir, entre autres, d'une application additive définie sur un anneau A à valeurs dans un -module, ou bien d'un endomorphisme d'une algèbre unitaire sur un anneau unitaire. Cette notion est en particulier vérifiée par l'opérateur de dérivation d'une fonction (de variable réelle, par exemple); elle en est une généralisation utilisée en géométrie algébrique et en calcul différentiel sur les variétés (par exemple pour définir le crochet de Lie).
Flow velocityIn continuum mechanics the flow velocity in fluid dynamics, also macroscopic velocity in statistical mechanics, or drift velocity in electromagnetism, is a vector field used to mathematically describe the motion of a continuum. The length of the flow velocity vector is the flow speed and is a scalar. It is also called velocity field; when evaluated along a line, it is called a velocity profile (as in, e.g., law of the wall).
