Polytope régulierdroite|vignette|Le dodécaèdre régulier, un des cinq solides platoniciens. En mathématiques, plus précisément en géométrie ou encore en géométrie euclidienne, un polytope régulier est une figure de géométrie présentant un grand nombre de symétries. En dimension deux, on trouve par exemple le triangle équilatéral, le carré, les pentagone et hexagone réguliers, etc. En dimension trois se rangent parmi les polytopes réguliers le cube, le dodécaèdre régulier (ci-contre), tous les solides platoniciens.
PolytopeUn polytope est un objet mathématique géométrique. Le terme de polytope a été inventé par Alicia Boole Stott, la fille du logicien George Boole. Le terme polytope admet plusieurs définitions au sein des mathématiques. Principalement car les usages diffèrent en quelques points selon les pays, mais l'usage américain ayant tendance à s'imposer, on se retrouve confronté avec des usages contradictoires au sein d'un même pays.
IcositétrachoreL'icositétrachore, ou « 24-cellules » est un 4-polytope régulier convexe. Il est spécifique à la dimension 4 dans le sens où il ne possède aucun équivalent dans une autre dimension. On le dénomme aussi « 24-cellules », « icositétratope », ou « hypergranatoèdre ». On peut définir un icositétrachore dans au moyen des sommets de coordonnées , ainsi que ceux obtenus en permutant ces coordonnées. Ils sont au nombre de 24.
Configuration de sommetEn géométrie, une configuration de sommet est une notation abrégée pour représenter la figure de sommet d'un polyèdre ou d'un pavage comme la séquence de faces autour d'un sommet. Pour les polyèdres uniformes, il n'y a qu'un seul type de sommet et, par conséquent, la configuration des sommets définit entièrement le polyèdre. (Les polyèdres chiraux existent dans des paires d'images miroir avec la même configuration de sommet). Une configuration de sommet est donnée sous la forme d'une suite de nombres représentant le nombre de côtés des faces faisant le tour du sommet.
Dodécaèdre rhombiqueEn géométrie, le dodécaèdre rhombique (aussi appelé granatoèdre) est un polyèdre convexe à 12 faces rhombiques identiques. Solide de Catalan, zonoèdre, il est le dual du cuboctaèdre. Pour le différencier du dodécaèdre de Bilinski, autre dodécaèdre rhombique à 12 faces identiques, on précise parfois dodécaèdre rhombique de première espèce. La grande diagonale de chaque face vaut exactement √2 fois la longueur de la petite diagonale, ainsi, les angles aigus de chaque face mesurent 2 tan(1/√2), ou approximativement 70,53°.
Polyèdre uniformeUn polyèdre uniforme est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal, c'est-à-dire que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie qui applique un sommet sur l'autre. Il en découle que tous les sommets sont congruents et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie par réflexion et rotation. La notion de polyèdre uniforme est généralisée, pour un nombre de dimensions quelconque, par celle de . Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi réguliers ou semi-réguliers.
HexagoneUn hexagone, du grec et , est un polygone à six sommets et six côtés. Un hexagone peut être régulier ou irrégulier. Un hexagone régulier est un hexagone convexe dont les six côtés ont tous la même longueur. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120°. Comme les carrés et les triangles équilatéraux, les hexagones réguliers permettent un pavage régulier du plan. Les pavages carrés et hexagonaux sont notamment utilisés pour réaliser des dallages.
Rectification (geometry)In Euclidean geometry, rectification, also known as critical truncation or complete-truncation, is the process of truncating a polytope by marking the midpoints of all its edges, and cutting off its vertices at those points. The resulting polytope will be bounded by vertex figure facets and the rectified facets of the original polytope. A rectification operator is sometimes denoted by the letter r with a Schläfli symbol. For example, r{4,3} is the rectified cube, also called a cuboctahedron, and also represented as .
Cube tronquéIn geometry, the truncated cube, or truncated hexahedron, is an Archimedean solid. It has 14 regular faces (6 octagonal and 8 triangular), 36 edges, and 24 vertices. If the truncated cube has unit edge length, its dual triakis octahedron has edges of lengths 2 and 2 + . The area A and the volume V of a truncated cube of edge length a are: The truncated cube has five special orthogonal projections, centered, on a vertex, on two types of edges, and two types of faces: triangles, and octagons.
Cuboctaèdre tronquéthumb|Patron (géométrie) Le grand rhombicuboctaèdre est un solide d'Archimède. Il possède 12 faces carrées régulières, 8 faces hexagonales régulières et 6 faces octogonales régulières. Ainsi que 48 sommets et 72 arêtes. Puisque chacune de ses faces possède un centre de symétrie (ou de manière équivalente, une rotation à 180°), le cuboctaèdre tronqué est un zonoèdre (à neuf générateurs). On peut rencontrer d'autres noms tels que : Grand cuboctaèdre Cuboctaèdre rhombitronqué Cuboctaèdre omnitronqué Le nom cuboctaèdre tronqué, donné à l'origine par Johannes Kepler est un peu inexact.
