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Concept
Forme automorphe
Résumé
droite|vignette|500x500px|La fonction êta de Dedekind est une forme automorphe dans le plan complexe.
Une forme automorphique, en analyse harmonique et théorie des nombres, est une fonction d'un groupe topologique G à valeurs dans le corps des nombres complexes (ou un espace vectoriel complexe) qui est invariante sous l'action d'un sous-groupe discret du groupe topologique et qui vérifie certaines conditions de dérivabilité et de croissance à l'infini. Les formes automorphes sont une généralisation de l'idée de fonctions périodiques dans l'espace euclidien à des groupes topologiques généraux.
Les formes modulaires sont des formes automorphes définies sur les groupes et et prenant comme sous groupe discret le groupe modulaire; en ce sens la théorie des formes automorphes est une généralisation de la théorie des formes modulaires. Plus généralement, l'approche adélique permet une définition plus intrinsèque, en considérant toutes les classes de congruences de sous-groupes en un.
Poincaré a d'abord découvert les formes automorphes comme généralisations des fonctions trigonométriques et elliptiques. Grâce aux conjectures de Langlands, les formes automorphes jouent un rôle important en théorie moderne des nombres.
En mathématiques, la notion de facteur d'automorphie intervient lorsqu'un groupe agit sur une variété analytique complexe. Supposons qu'un groupe agisse sur une variété analytique complexe . Alors, agit également sur l'espace des fonctions holomorphes de vers . Une fonction est dite forme automorphe si les conditions suivantes sont réunies :
où est une fonction holomorphe partout non nulle.
Le facteur d'automorphie pour la forme automorphe est la fonction . Une fonction automorphe est une forme automorphe pour laquelle est l'identité. Il est difficile d'obtenir des exemples de formes automorphes concrètes, bien que certaines aient des propriétés directement analytiques :
La série d'Eisenstein (qui est une forme modulaire) sur certaines extensions de corps.
Généralisations de la fonctions L de Dirichlet en tant qu'objets de la théorie des corps de classes.
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