droite|vignette|500x500px|La fonction êta de Dedekind est une forme automorphe dans le plan complexe.
Une forme automorphique, en analyse harmonique et théorie des nombres, est une fonction d'un groupe topologique G à valeurs dans le corps des nombres complexes (ou un espace vectoriel complexe) qui est invariante sous l'action d'un sous-groupe discret du groupe topologique et qui vérifie certaines conditions de dérivabilité et de croissance à l'infini. Les formes automorphes sont une généralisation de l'idée de fonctions périodiques dans l'espace euclidien à des groupes topologiques généraux.
Les formes modulaires sont des formes automorphes définies sur les groupes et et prenant comme sous groupe discret le groupe modulaire; en ce sens la théorie des formes automorphes est une généralisation de la théorie des formes modulaires. Plus généralement, l'approche adélique permet une définition plus intrinsèque, en considérant toutes les classes de congruences de sous-groupes en un.
Poincaré a d'abord découvert les formes automorphes comme généralisations des fonctions trigonométriques et elliptiques. Grâce aux conjectures de Langlands, les formes automorphes jouent un rôle important en théorie moderne des nombres.
En mathématiques, la notion de facteur d'automorphie intervient lorsqu'un groupe agit sur une variété analytique complexe. Supposons qu'un groupe agisse sur une variété analytique complexe . Alors, agit également sur l'espace des fonctions holomorphes de vers . Une fonction est dite forme automorphe si les conditions suivantes sont réunies :
où est une fonction holomorphe partout non nulle.
Le facteur d'automorphie pour la forme automorphe est la fonction . Une fonction automorphe est une forme automorphe pour laquelle est l'identité. Il est difficile d'obtenir des exemples de formes automorphes concrètes, bien que certaines aient des propriétés directement analytiques :
La série d'Eisenstein (qui est une forme modulaire) sur certaines extensions de corps.
Généralisations de la fonctions L de Dirichlet en tant qu'objets de la théorie des corps de classes.
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EPFL2023
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La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
Atle Selberg (né le à Langesund (Norvège) et mort le à Princeton (New Jersey)) est un mathématicien norvégien connu pour son travail en théorie analytique des nombres et dans la théorie des formes automorphes, en particulier en liaison avec la théorie spectrale. Dès sa jeunesse, Selberg a été influencé par l'œuvre de Ramanujan. Il a fait ses études à l'université d'Oslo et soutenu son doctorat en 1943. Il a été élève de Viggo Brun. Durant la Seconde Guerre mondiale, il a travaillé seul à cause de l'occupation de la Norvège par l'Allemagne nazie.
In mathematics, a congruence subgroup of a matrix group with integer entries is a subgroup defined by congruence conditions on the entries. A very simple example would be invertible 2 × 2 integer matrices of determinant 1, in which the off-diagonal entries are even. More generally, the notion of congruence subgroup can be defined for arithmetic subgroups of algebraic groups; that is, those for which we have a notion of 'integral structure' and can define reduction maps modulo an integer.